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Avertissement

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curriculum-cnrs-2003.pdf
 
 
 

Des renseignements complémentaires sont disponibles sur la page principale /~merker/index.html, qui est régulièrement remise à jour.

§1. Curriculum vitae résumé, responsabilités collectives actuelles et projet de mobilité

1.1. Curriculum vitae résumé

1988 : Baccalauréat série C à Besançon.
 

1990 : Entrée à l'École Normale Supérieure de Paris, en candidat libre, après deux Deugs (mathématiques et philosophie) suivis en parallèle à Besançon.
 

1992 : Agrégation de mathématiques.
 

1994 : Service militaire en tant que scientifique du contingent  à Autun (Saône-et-Loire) ; agrégation de Philosophie (après une Licence et une Maîtrise à la Sorbonne en 1991 et en 1992).
 

1995 : Caïman << mathématiques et philosophie >> à l'ENS Ulm sur un poste d'ATER, durant deux années.
 

1996 : Doctorat de l'université de Paris 6 en Mathématiques, sous la direction de Jean-Marie Trépreau, professeur.
 

1997 : Entrée comme CR2 au CNRS et affectation au LATP, CMI, Université de Provence.
 

2001 : Accession au grade de CR1 au CNRS.
 

2004 : Participation à l'Ultra-Trail du Tour du Mont-Blanc : 155km, 8500m de dénivellation positive (et négative) ; tour complet bouclé en 30h35mn de course non-stop.
 
 
 

1.2. Responsabilités collectives actuelles

· Organisateur, responsable financier et webmestre du Séminaire d'Analyse et Géométrie, l'un des trois séminaires de la nouvelle équipe de Mathématiques Fondamentales au LATP.
 

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~merker/

AG/SE/2004/anageom.html
 

· Directeur adjoint, secrétaire (rédaction scientifique) et webmestre du GDR 2252 << Analyse et géométrie complexe en plusieurs variables >>, dirigé par Pascal Thomas.
 

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~merker/

AC/Rapports/GDR/gdr.html.
 

· Co-responsable du séminaire << Gilles Châtelet >>, IUFM, Besançon.
 

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~merker/

Philosophie/SE/2005/seminaire-chatelet-2005.html
 

· Webmestre¹ de la page internet du Master Recherche deuxième année en Mathématiques Fondamentales de l'Université de Provence :
 

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~merker/dea/index.html
 
 
 

· Depuis 1999 : membre titulaire de la commission de spécialistes (Section 25 du CNU) de l'Université de Provence. Vice Président (Collège B) entre juin 2001 et juin 2004.

1.3. Projet de mobilité : mutation sur Paris (automne 2006 ?)

Cela fait précisément sept annnées que je suis au LATP à Marseille, le laboratoire d'affectation que j'avais demandé lors de mon recrutement au CNRS le 1^er octobre 1997. Je suis très satisfait de cette structure, des échanges intellectuels et des collaborations scientifiques que j'ai pu y engager.

Toutefois, il me semble maintenant que j'ai quelque peu épuisé les possibilité de collaboration au LATP à Marseille. De plus, je ressens un besoin << instinctif >> de changer d'université, pour rompre les habitudes et me libérer des << routines >> de laboratoire, qui prennent trop le pas sur l'ouverture et sur la nouveauté. Enfin, bien que je m'implique le moins possible dans la politique locale de l'UFR MIM et du LATP afin de préserver ma liberté d'esprit et un maximum de temps pour la recherche et pour la rédaction d'articles, il ne me semble pas souhaitable de coexister encore de nombreuses années avec certains professeurs influents pour qui l'activité de recherche n'occupe pas le premier plan.

Par ailleurs, je souhaite toujours ardemment poursuivre mes activités en philosophie des mathématiques. Lorsque j'étais à Paris, je pouvais participer à plusieurs séminaires, échanger fréquemment, être présent à divers colloques. Depuis mon arrivée à Marseille, cette activité a légèrement baissé. L'éloignement géographique du centre parisien, et le trop petit nombre de personnes intéressées par la philosophie des mathématiques au LATP m'ont conduit à me concentrer sur la recherche en mathématiques fondamentales. J'ai consacré presque tout mon temps à élaborer quelques travaux spécialisés d'importance, tels que [10], [11], [14], [15], [18], [19], [21], [26], [27], [A], [B], [C] et [F] ci-dessous

Cependant, en acceptant de me rendre environ cinq fois par an à Paris à mes propres frais, j'ai pu conserver des contacts. En effet, durant ces trois dernières années, j'ai participé régulièrement à un << Séminaire-Groupe de travail >> organisé à l'ENS Ulm par Ivahn Smadja, ex-caïman de philosophie nouvellement nommé Maître de Conférences à l'Université de Caen, et Jean-Jacques Szczeciniarz, ex-professeur de philosophie à l'Université de Bordeaux 1 nouvellement muté à Paris 7. Cette année, j'ai pu échanger avec des astronomes (Marc Lachièze-Rey, DR CNRS, par exemple), ainsi qu'avec des historiens des sciences (Michel Paty, DR CNRS, par exemple) lors d'une rencontre à Cargèse en février 2004 et lors d'un colloque à l'Observatoire de Paris en mai 2004. Ces échanges me paraissent très fructueux et sont appelés à se développer. Afin de susciter l'intérêt de ces physiciens, en collaboration avec deux étudiants de Maîtrise, j'ai entrepris de lire le mémoire d'Élie Cartan paru 1922 dans lequel il démontre que le tenseur géométrique qu'Einstein avait introduit en 1917 dans ses équations de la gravitation est essentiellement unique (référence [A] ci-dessous). Après enquête, il semblerait que les relativistes français ne connaissent pas le contenu de ce mémoire difficile, que Hermann Weyl lui-même n'aurait jamais déchiffré ; il faut mentionner qu'Élie Cartan sous-entend trop d'éléments théoriques qu'il a lui-même élaborés pendant toute sa carrière. Dans l'avenir, je souhaite approfondir d'autres thèmes de l'oeuvre d'Élie Cartan qui ont des applications en physique théorique.

En définitive, je souhaiterais revenir à Paris pour une période transitoire de une à quatre années, sachant que je pourrais fort bien choisir d'opter pour l'enseignement supérieur en province après cette période ; pour des raisons personnelles, je préfère en effet vivre en province et je n'envisage pas pour le moment que la suite de ma carrière se déroule uniquement à Paris.

Voici cinq arguments principaux pour justifier cette demande de mutation.
 
 

• (1) À Paris, les activités en histoire et philosophie des mathématiques sont bien développées et très stimulantes, et j'aimerais, à ce sujet, plus d'échanges oraux que je n'en ai actuellement.
• (2) Lorsque j'étais caïman à l'ENS Ulm, j'étais certainement trop jeune pour jouer le rôle d<< éveilleur de pensée >> chez les élèves, alors que maintenant, je me sens tout à fait capable de remplir celui-ci.
• (3) Je souhaiterais initier à la recherche en épistémologie contemporaine de jeunes étudiants de niveau licence ou maîtrise : recherches bibliographiques, initiation à la spéculation scientifique, apprentissage de l'écriture conceptuelle, méthodes d'investigation historique.
• (4) Je souhaiterais créer un Séminaire-Groupe de travail en philosophie des mathématiques, sur certains thèmes des mathématiques contemporaines ; en effet, après quelques années de recherches spécialisées, je m'en sens la force.
• (5) Enfin, j'envisage d'écrire très prochainement une thèse en philosophie des mathématiques  dont je mûris les thèmes et le contenu depuis près de dix ans.

1.4. Conclusion

1.5. Habilitation en mathématiques

§2. Points forts de l'activité de recherche

2.1. Liste de thèmes de recherche actuellement en cours

· Lecture et méditation des mémoires de Cartan sur les équations de la gravitation d'Einstein et sur les connexions affines, conformes et projectives.
 
 
 

· Histoire et philosophie de la géométrie différentielle ; impact des travaux de Sophus Lie et d'Élie Cartan.
 
 
 

· Classification des algèbres de Lie réelles et complexes.
 
 
 

· Approche structurale des systèmes d'équations aux dérivées partielles.
 
 
 

· Application des méthodes algorithmiques d'algèbre différentielle à l'étude des systèmes d'équations aux dérivées partielles.
 
 
 

· Classification des actions de groupes de Lie locaux agissant localement sur un ouvert de C³.
 
 
 

· Recherche de procédés de calcul pour mieux maîtriser l'explosion des calculs dans la << méthode d'équivalence >> d'Élie Cartan.
 
 
 

· Éclatements locaux en géométrie analytique et application à l'étude de la géométrie des variétés CR analytiques réelles.
 
 
 

· Problème variationnel inverse.

§2.2. Collaborations scientifiques en cours

Avec Egmont Porten : (Humboldt Universität zu Berlin)
 
 
 

· Élimination des singularités de codimension 1 en dimension CR égale à 1.
 
 
 

· Minimalisation des systèmes de champs de vecteurs.
 
 

Avec Stéphane Rigat : (Université de Provence)
 
 
 

· Étude des techniques de désingularisation et application à la structure des courants résiduels.
 
 
 

§3. Exposés invités dans des colloques en Mathématiques et en Épistémologie depuis janvier 2003

· Conférence internationale Reelle Methoden der Komplexen Analysis, organisée par Klas Diederich, Takeo Ohsawa et Edgar Lee Stout à Oberwolfach (Allemagne) du 23 février au 1^er mars 2003. Intitulé de l'exposé (1h) : Symmetries of partial differential equations and CR geometry.
 
 
 

· Colloque Philosophie et mathématique, organisé par Alain Badiou, Ivahn Smadja et Quentin Meillassoux à l'École Normale Supérieure (rue d'Ulm) le 25 mai 2003. Intitulé de l'exposé (1h) : Métaphysique de l'ouverture mathématique.
 
 
 

· Conférence internationale Workshop Komplexen Analysis, organisée par Judith Brinkschulte à Leipzig (Allemagne) du 2 au 5 juillet 2003. Intitulé de la série de deux exposés d'une heure chacun : Equivalences of second order completely integrable systems of partial differential equations.
 
 
 

· Conférence internationale Cauchy-Riemann analysis and geometry, organisée par I. Lieb et G. Schmalz au Max-Planck Institut de Bonn, du 22 au 26 septembre 2003. Intitulé de l'exposé (1h) : Explicit Chern-Moser tensors.
 
 
 

· Rencontres internationales Autumn School in Complex Analysis, organisée par Hervé Gaussier et Kang-Tae Kim au CIRM les deux premières semaines d'octobre 2003. Intitulé de l'exposé : An explicit differential characterization of the Newtonian free particle system.
 
 
 

· Rencontres nationales Mathématique, Physique, Philosophie, organisées par Marc Lachièze-Rey au Centre International de Physique Théorique à Cargèse (Corse) du 16 au 20 février 2004. Intitulé de l'exposé (1h) : Équivalences locales entre variétés pseudo-riemanniennes et applications à la relativité générale.
 
 
 

· Rencontres nationales Journées Complexes du GDR 2252, organisées par Karim Kellay et Stéphane Rigat au CIRM du 4 au 6 juin 2004. Intitulé de l'exposé (1h) : Sur les équations de la gravitation d'Einstein, d'après Élie Cartan.

§4. Exposés dans des séminaires en France et à l'étranger

4.1. Exposés invités dans des séminaires extérieurs au laboratoire de rattachement

·Séminaire d'Analyse, organisé par P. Dolbeault, G. Henkin, H. Skoda et J.-M. Trépreau à l'Université de Paris 6. Intitulé de l'exposé donné le 14 janvier 2003 : Sur la géométrie locale des systèmes différentiels analytiques complètement intégrables ; application à la géométrie CR.
 
 
 

·Séminaire d'Analyse Complexe, organisé par A. Zeriahi à l'Université Paul Sabatier de Toulouse. Intitulé de l'exposé donné le 22 mai 2003 : Variété des solutions d'un système rigide d'équations aux dérivées partielles.
 
 
 

·Séminaire de Géométrie Complexe, organisé par S. Ivashkovich à l'Université de Lille 1. Intitulé de l'exposé donné le 5 juin 2003 : Singularités éliminables de codimension 1 en dimension CR égale à 1 et en codimension supérieure ou égale à 2.
 
 
 

·Séminaire de Philosophie des mathématiques, organisé par Tatiana Roque et Sara Franceschelli au Collège International de Philosophie (Paris). Intitulé de l'exposé donné le 28 novembre 2003 (2h) : Connexions affines, connexions conformes et connexions projectives, d'après Élie Cartan.
 
 
 

·Séminaire d'Analyse, organisé par P. Dolbeault, G. Henkin, H. Skoda et J.-M. Trépreau à l'Université de Paris 6. Intitulé de l'exposé donné le 27 janvier 2004 : Caractérisation géométrique des sous-ensembles analytiques réels ne contenant pas de courbes holomorphes.

4.2. Exposé donné dans le Séminaire d'Analyse et Géométrie Complexe du LATP à l'Université de Provence

4.3. Participation à des séminaires--groupes de travail

· Organisation à Besançon d'un Séminaire--Groupe de travail intitulé Gilles Châtelet, en collaboration avec Philippe Roy, formateur en mathématiques, physique et philosophie à Gray, et Maryvonne Menez-Hallez, Maître de Conférence en mathématiques à Paris 7.

§5. Participation à des colloques en tant qu'auditeur

· Rencontres nationales Journées Complexes du GDR2252, organisées par Chantal Menini et Andreas Hartmann à Carcassonne du 27 au 29 novembre 2003.
 

· Colloque national Sciences de la nature, organisé par Joseph Kouneiher à l'Observatoire de Paris, fin mai 2004.

§6. Enseignements dispensés en 2003--2004 et prévus en 2004--2005

6.1. Enseignement << magistral >>

·Cours et TD d'histoire et d'épistémologie des mathématiques (second semestre 2004, pour un total de 50h) ; rédaction par les étudiants de 18 mémoires de 30 à 80 pages, sur des sujets distincts.
 
 
 

·Cours de DEA de Tronc commun et de spécialité (premier semestre 2004--2005, pour un total de 37h), en coopération avec El Hassan Youssfi : théorie de Cartan et problème variationnel inverse.
 
 
 

·Cours d'histoire et d'épistémologie des mathématiques (second semestre 2005, pour un total de 25h).

6.2. Encadrement de mémoires

· Travaux d'encadrement et de recherche (TER), Maîtrise de mathématiques pures, Université de Provence, printemps 2004, pour un total de 24h.
 
 

• (i) Olivier Albouy et Rémi Delannoye : unicité du tenseur d'Einstein, d'après Élie Cartan ; travail écrit référencé en [] ci-dessous.
• (ii) Julien Bernard : le problème du continu, d'après Cantor, Gödel et Cohen.

· Stage de première année de l'ENS Lyon, six semaines en Juin-juillet 2004. Nicolas Bovetto : Classification des algèbres de Lie complexes semi-simples, d'après Wilhelm Killing et Élie Cartan.
 
 
 

§7. Références bibliographiques
(Articles de mathématiques)

7.1. Articles publiés dans des revues à comité de lecture

References

[1]

Joël Merker, Global minimality of generic manifolds and holomorphic extendibility of CR functions, International Math. Research Notices, 1994, no. 4, 329--343.

 

[2]

Joël Merker, On removable singularities for CR functions in higher codimension, International Math. Research Notices, 1997, no. 1, 21--56.

 

[3]

Joël Merker and Francine Meylan, On the Schwarz symmetry principle in a model case, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), no. 4, 1097--1102.

 

[4]

Joël Merker et Egmont Porten, Enveloppe d'holomorphie locale des variétés CR et élimination des singularités pour les fonctions CR intégrables, C. R. Acad. Sci. Paris 328 (1999), 853--858.

 

[5]

Joël Merker et Egmont Porten, On removable singularities for integrable CR functions, Indiana Univ. Math. J. 48 (1999), 805--856.

 

[6]

Joël Merker et Francine Meylan, Extension de germes de difféomorphismes CR pour une classe d'hypersurfaces analytiques réelles non essentiellement finies dans C³, Complex variables Theory Appl. 40 (1999), no. 1, 19--34.

 

[7]

Joël Merker and Egmont Porten, Metrically thin singularities of integrable CR functions, Internat. J. Math. 11 (2000), no. 7, 857--872.

 

[8]

Joël Merker, Note on double reflection and algebraicity of holomorphic mappings, Annales Fac. Sci. Toulouse 9 (2001), no. 5, 689--721.

 

[9]

Joël Merker, Convergence of formal biholomorphisms between minimal holomorphically nondegenerate real analytic hypersurfaces, Int. J. Math. Math. Sci. 26 (2001), no. 5, 281--302.

 

[10]

Joël Merker, On the partial algebraicity of holomorphic mappings between real algebraic sets, Bull. Soc. Math. France 129 (2001), no. 3, 547--591.

 

[11]

Joël Merker, Étude de l'application de symétrie CR formelle, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 333 (2001), no. 3, 165--168.

 

[12]

Bernard Coupet, Sylvain Damour, Joël Merker et Alexandre Soukhov, Sur l'algébricité des applications CR lisses à valeurs dans un ensemble algébrique réel, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I 334 (2002), 953--956.

 

[13]

Joël Merker and Roman Dwilewicz, Hartogs-Bochner phenomenon and decomposition of CR functions, Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002), no. 7, 1975--1980.

 

[14]

Joël Merker, On envelopes of holomorphy of domains covered by Levi-flat hats and the reflection principle, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52 (2002), no. 5, 1443--1523.

 

[15]

Joël Merker and Egmont Porten, On wedge extendability of CR meromorphic functions, Math. Z. 241 (2002) 485--512.

 

[16]

Sylvain Damour et Joël Merker, Sur la convergence d'applications formelles entre sous-variétés analytiques réelles, Bull. Sci. Math. 126 (2002), 831--854.

 

[17]

Hervé Gaussier and Joël Merker, A new example of uniformly Levi degenerate hypersurface in C³, Ark. Mat. 41 (2003), 85--94.

 

[18]

Hervé Gaussier et Joël Merker, Symmetries of partial differential equations, J. Korean Math. Soc. 40 (2003), no. 3, 517--561.

 

[19]

Hervé Gaussier and Joël Merker, Nonalgebraizable real analytic tubes in Cⁿ, Math. Z. 247 (2004), no. 2, 337--383.

 

[20]

Hervé Gaussier et Joël Merker, Sur l'algébrisabilité locale de sous-variétés analytiques réelles génériques de Cⁿ, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I 336 (2003), 125--128.

 

[21]

Joël Merker, Étude de la régularité analytique de l'application de réflexion CR formelle, Annales Fac. Sci. Toulouse, 90 pp, à paraître.

 

[22]

Joël Merker, Propagation of analyticity for essentially finite C^¥-smooth CR mappings, 25 pp, Manuscripta Math. to appear.

7.2. Articles publiés dans des actes de colloque avec comité de lecture à l'occasion d'une conférence

References

[23]

Joël Merker et Egmont Porten, On the local meromorphic extension of CR meromorphic functions, Volume spécial consacré aux Actes du Colloque Complex Analysis and Applications, Varsovie, juillet 1997. Ann. Polon. Math. 70 (1998), no. 1, 163--193.

 

[24]

Xiaojun Huang, Joël Merker and Francine Meylan, Mappings between degenerate real analytic hypersurfaces in Cⁿ, actes du colloque Analysis, geometry, number theory : the mathematics of Leon Ehrenpreis (Philadelphia, PA, 1998), 321--338. Contemp. Math., 251, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

 

[25]

Hervé Gaussier et Joël Merker, Géométrie des sous-variétés analytiques réelles de Cⁿ et symétries de Lie des équations aux dérivées partielles, Colloque annuel de la Société Mathématique de Tunisie, Printemps 2003, Bull. Soc. Math. Tun. à paraître.

7.3. Article de synthèse à paraître

References

[26]

Joël Merker, On the local geometry of generic submanifolds of Cⁿ and the analytic reflection principle (Part I), Viniti, to appear, 80 pp.

7.4. Travail soumis et en cours de réécriture

References

[27]

Joël Merker and Egmont Porten, Characteristic foliations on maximally real submanifolds of Cⁿ and envelopes of holomorphy, texte invité (et rémunéré) par Morris Weisfeld pour les International Mathematics Research Surveys, 113 pages de Latex, à développer en ajoutant des paragraphes de survol ; Prépublication, LATP, janvier 2004.

7.5. Travaux mathématiques en préparation active

References

[a]

Olivier Albouy, Rémi Delannoye et Joël Merker, Sur les équations de la gravitation d'Einstein (d'aprés Élie Cartan), 104 pp de Latex déjà rédigées. Il y a encore 15 (sur 63) pages du mémoire (jugé obscur par H. Weyl) d'Élie Cartan que je ne comprends pas.

 

[b]

Joël Merker, Symmetries of completely integrable systems of analytic partial differential equations, in preparation ; 40 pp. of Latex already written.

 

[c]

Joël Merker, An explicit differential characterization of the Newtonian free particle system in m³ 2 dependent variables, 40 pp of Latex already written.

 

[d]

Joël Merker, Reflection principle with algebraic target, in project.

 

[e]

Joël Merker and Egmont Porten, Survey on holomorphic extension of CR functions and removable singularities, in project.

 

[f]

Joël Merker, Explicit Hachtroudi-Chern tensors and a characterization of local sphericity, in project ; 120 pages of hand manuscript.

 

[g]

Joël Merker, Two geometric characterization of real analytic subsets of Cⁿ containing no complex curves, in project.

7.6. Classement des travaux publiés, soumis ou en préparation selon leur ordre d'importance (difficulté des problèmes résolus, apport au domaine de recherche et impact des travaux)

L'idée d'inviter chaque chercheur à établir lui-même le classement de ses travaux selon leur ordre d'importance m'agrée pleinement. En effet, par manque de connaissance précise des innombrables domaines de recherche scientifique, les rapporteurs sont trop souvent contraints  ---  malgré leur volonté  ---  de n'évaluer un dossier scientifique qu'en fonction de la renommée des revues spécialisées qui sont référencées dans une liste de publications. Une telle méthode a du sens, eu égard à la complexité croissante des dossiers scientifiques, mais elle a ses limites, étant donné qu'une proportion non négligeable d'articles de jeunes chercheurs parus dans des revues prestigieuses ou très établies l'ont été grâce à la tutelle bienveillante de leaders de la communauté scientifique à laquelle ils appartiennent. Les chercheurs très indépendants qui, eux, ne bénéficient pas du soutien de puissants aînés, publient leurs travaux dans des revues correctes, mais moins prestigieuses, et ils apprennent à attendre patiemment  ---  une et même deux décennies parfois  ---   le moment où quelques-uns de leurs travaux seront publiés dans des journaux très prisés sur la scène internationale.
 

Les trois thèmes de recherche principaux en mathématiques auxquels j'ai contribué dans mes textes écrits sont les suivants :
 
 

• (1) méthode des disques analytiques, enveloppes d'holomorphie locales et élimination des singularités ([1], [2], [4], [5], [7], [13], [15], [23], [27], [E]) ;
• (2) régularité analytique ou algébrique d'applications CR lisses ou formelles ([3], [6], [8], [9], [10], [11], [12], [14], [16], [21], [22], [24], [26], [D], [G]) ;
• (3) symétries de Lie des équations aux dérivées partielles, systèmes différentiels extérieurs et relativité générale ([17], [18], [19], [20], [25], [A], [B], [C], [F]).

Ces trois thèmes étant par nature relativement étrangers les uns aux autres, il est impossible d'établir une hiérarchie commune. Je propose donc de classer les articles en trois << grades >> pour chacun des trois thèmes, ce qui donne neuf groupes. Pour déterminer le groupe auquel chaque article appartient, mon évaluation s'effectue prioritairement en fonction de la difficulté du problème principal qu'il résout ; je place un article au premier grade si le problème principal est difficile et s'il est résolu complètement ; si la résolution complète du problème principal ne présente pas de réelle difficulté et si le travail présente un degré d'achèvement formel satisfaisant, je place l'article en question au deuxième grade ; si le problème principal n'est pas résolu, je le place au troisième et dernier grade ; enfin, dans chaque groupe, je classe les articles dans l'ordre de préférence personnelle en les accompagnant d'un bref commentaire appréciatif.
 
 
 

• (1) :
• · [27] : résolution par localisation d'un problème très difficile que B. Jöricke avait toujours cru relever nécessairement de techniques globales et que j'ai longtemps estimé hors de ma portée.

 

 
 
 
 

• · [15] : élimination des singularités de codimension 2+ 0 en classe C ^{2,   a}, problème sur lequel Egmont Porten et moi-même avons beaucoup << séché >>, et que nous avons résolu en associant des techniques locales de disques analytiques (Trépreau-Tumanov) à des techniques globales (Forstneric-Globevnik).

 

 
 
 
 

• · [2] : mon second travail de thèse, où j'ai reconstitué puis généralisé en codimension supérieure trois théorèmes valables pour des hypersurfaces qui avaient été annoncés aux CRAS en 1992 par B. Jöricke, sans aucune indication de démonstration.

 
 
 
• (2) :
• · [11] : annonce aux CRAS d'un résultat très difficile et définitif sur la convergence d'applications CR formelles, posté en mai 2000 sur le site arXiv.org/abs/math.CV/0005290 avec une démonstration complète, accessible aux spécialistes. Le procédé nouveau (découverte de deux paires inéquivalentes d'identités de réflexion conjuguées) a été intégré puis immédiatement appliqué pour offrir les généralisations intéressantes par Baouendi-Mir-Rothshchild dans un article publié au J. Geom. Anal. en 2002 (qui omet de faire une référence bibliographique à cette Note aux CRAS).

 

 
 
 
 

• · [14] : problème qui transcende les techniques introduites par Baouendi-Jacobowitz-Treves ou Diederich-Fornæss et solution à une conjecture << folklorique >> vieille de dix-sept ans ; c'est un article qui marie la technique des disques analytiques avec le principe de réflexion de Schwarz en plusieurs variables complexes.

 

 
 
 
 

• · [21] : développement et raffinement de l'annonce [11] qui était accompagnée d'une prépublication de 13 pages, postée sur le site arXiv en mai 2000 ; j'ai attendu patiemment pendant quatre ans avant de me décider à soumettre à nouveau ce travail (rejeté par Inventiones en octobre 2000) en le raffinant encore plus qu'il n'avait été raffiné par Baouendi-Mir-Rotschild.

 

 
 
 
 

• · [G] : caractérisation entièrement nouvelle constructive et géométrique du type de D'Angelo fini, en termes du théorème de Cartan-Kähler ou en termes d'une application de Gauss à valeurs dans les grassmanniennes.

 
 
 
• (3) :
• · [F] : après trente années d'existence d'un article fondateur par Chern-Moser paru à Acta Math. en 1974, aucun spécialiste n'est parvenu à calculer explicitement les tenseurs de Hachtroudi-Chern en dimension quelconque n³ 2. Pour n=2, le programme de 4000 lignes de code élaboré au LIFL (Lille 1) par Neut et Petitot, professionnels du calcul formel, aboutit, mais il stagne pour n=3, à cause de la taille des calculs. Je suis très satisfait d'être parvenu à le faire à la main dans le cas n ³ 2 quelconque au cours de l'été 2003, mais il me faudra encore beaucoup de temps pour taper tout cela en Latex !

 

 
 
 
 

• · [19] : premier article où il est démontré complètement que le groupe des automorphismes holomorphes locaux d'une sous-variété analytique ou algébrique réelle générique minimale et finiment non-dégénérée est un groupe de Lie local analytique ou algébrique de dimension finie ; critères élémentaires pour la non-algébrisabilité locale de tubes rigides.

 

 
 
 
 

• · [C] : solution complète d'un problème ouvert chez les physiciens théoriciens, via des calculs formels manuels interminables, qui requièrent une patience à toute épreuve et une endurance extrême.

 

 
 
 
 

• · [18] : problème de combinatoire différentielle très délicat, à cause de la taille des expressions formelles.

• (1) :
• · [1] : solution de la conjecture de Trépreau (1990) : grâce aux travaux de Tumanov parus entre-temps, le travail a été relativement facile pour moi, alors que la question était très fine et très difficile à l'origine.

 

 
 
 
 

• · [5] : première collaboration avec Egmont Porten ; les résultats sont définitifs, mais ils constituent une généralisation aisée de mes premiers résultats dans [2].

 

 
 
 
 

• · [E] : réécriture et simplification de théorèmes déjà publiés ; je place ce travail ici, car je trouve la simplification du théorème d'extension locale de Tumanov qu'Egmont Porten a trouvée et que nous prévoyons de rédiger ensemble, très élégante et très satisfaisante : elle permet en effet de traiter sur un même plan la minimalité locale et la minimalité globale, sans avoir à contrôler les variations de direction d'extension du prolongement CR. Nous divisons ainsi par trois la complexité de la preuve du théorème principal de mon premier article [1].

 

 
 
 
 

• · [7] : élimination des singularités de codimension 2+ 0 pour les fonctions intégrables en classe C ^{2,   a} ; cet article est couvert par [15].

 
 
 
• (2) :
• · [10] : c'est un article de synthèse qui tuait définitivement le sujet, mais un article sur lequel je n'ai pas du tout << séché >>. Ce travail est bien structuré.

 

 
 
 
 

• · [26] : première référence complète et élémentaire sur les chaînes de Segre et les jets des variétés de Segre.

 

 
 
 
 

• · [9] : préliminaire à [11] et à [21], valable dans le cas hypersurface ; la technique introduite se généralisait facilement à la codimension arbitraire, mais je ne m'en suis pas rendu compte sur le coup ; dans cet article, prépublié en septembre 1999 au LATP, les deux paires (nouvelles et cruciales pour [11] et [21]) d'identités de réflexion conjuguées sont clairement exprimées.

 
 
 
• (3) :
• · [A] : lecture et réécriture extrêmement difficile du mémoire éponyme publié en 1922 par Élie Cartan.

 

 
 
 
 

• · [B] : transfert << facile >> de la théorie des chaînes de Segre aux systèmes complètement intégrables d'équations aux dérivées partielles dont le groupe de symétries de Lie est de dimension finie.

• (1) :
• · [23] : élimination des singularités de codimension de Hausdorff 2+0 ; le problème principal est résolu seulement dans le cas analytique réel.

 

 
 
 
 

• · [4] : annonce de [5] aux CRAS.

 

 
 
 
 

• · [13] : collaboration de circonstance avec Roman Dwilewicz, qui s'était << invité >> à Marseille en 1997.

 
 
 
• (2) :
• · [22] : article que j'ai écrit pour clarifier la situation, au sujet d'un << travail >> effectué en 2001 par Meylan-Mir-Zaitsev : ces << auteurs >> avaient emprunté << librement >> la partie la plus technique de la thèse de Sylvain Damour (que j'ai co-dirigée) sur la déformation des wedges attachés, notion que j'avais mise au point dans ma thèse en 1996 ; pour cette affaire (comme pour [11] et [21]), j'aurai aussi fait preuve d'une grande patience.

 

 

• · [D] : projet de synthèse élégante de tous les théorèmes << faciles >> publiés par divers auteurs sur le principe de réflexion en supposant la variété image algébrique. Travail de synthèse << accessible >>, mais coûteux en volume : entre 60 et 80 pages prévues.

 

 
 
 
 

• · [16] : c'est un article qui ne résout pas complètement une question difficile ; je ne suis pas encore parvenu à résoudre cette question (mes concurrents non plus, d'ailleurs).

 

 
 
 
 

• · [6] : tentative (sur une classe d'exemples précis) d'appliquer les techniques de Baouendi-Jacobowitz-Treves pour résoudre un problème qui, en vérité, les transcende largement et que j'ai résolu complètement dans [14].

 

 
 
 
 

• · [8] : liste de 24 théorèmes inéquivalents entre eux que recouvrait le théorème principal d'un article faux (mais déjà accepté à Acta Math.) de Zaitsev ; la prépublication de [8] sur arXiv.com a permis à Zaitsev de corriger son article (référé par Baouendi-Rothschild), sans que Sylvain Damour et moi-même soyons remerciés pour notre vigilance dans la version définitive, corrigée et publiée à Acta Math.

 

 
 
 
 

• · [3] : résultat et technique valable dans le cas rigide polynomial (très restrictif), largement couvert par [14].

 

 
 
 
 

• · [12] : note aux CRAS que nous avons écrite pour protéger Sylvain Damour d'une seconde << inspiration >> par Meylan-Mir-Zaitsev.

 

 
 
 
 

• · [24] : deux hypothèses ad hoc ; le résultat définitif est loin d'être en vue.

 
 
 
• (3) :
• · [17] : le calcul de symétrie est juste, mais la conséquence tirée est fausse ...car elle repose sur un aricle d'Ebenfelt paru en 2001 à Duke dont les équations de structure principales sont ...entièrement fausses (remarque due à K Oeljeklaus et à W. Kaup). Je programme de corriger les calculs d'Ebenfelt prochainement.

 

 
 
 
 

• · [20] : annonce de [19].

 

 
 
 
 

• · [25] : résumé de [17], [18] et [19].

7.7. Liste des références de travaux prépubliés électroniquement

• 1.arXiv.org/abs/math.CV/9901010 ; [26].
• 2. arXiv.org/abs/math.CV/9901027 ; [9], [21].
• 3. arXiv.org/abs/math.CV/9902038 ; [25].
• 4.arXiv.org/abs/math.CV/9902039 ; [4].
• 5.arXiv.org/abs/math.CV/9902040 ; [5].
• 6.arXiv.org/abs/math.CV/9905024 ; [21].
• 7.arXiv.org/abs/math.CV/9906056 ; [7].
• 8.arXiv.org/abs/math.CV/9906057 ; [10].
• 9.arXiv.org/abs/math.CV/0005290 ; [11], [21].
• 10.arXiv.org/abs/math.CV/0006178 ; [15].
• 11.arXiv.org/abs/math.CV/0012222 ; [9].
• 12.arXiv.org/abs/math.CV/0012223 ; [14].

Pour préserver la confidentialité des recherches en cours (à cause de pillages systématiques), arrêt de ces messages d'annonce à partir de janvier 2001 jusqu'au printemps 2004. Après une période de silence électronique qui s'est accompagnée d'un essoufflement de la production de certains concurrents, reprise des envois sur le site arXiv.org.
 
 

• 13.arXiv.org/abs/math.CV/0401142 ; [27].
• 14.arXiv.org/abs/math.CV/0403275 ; [20].
• 15.arXiv.org/abs/math.CV/0403384 ; [13].
• 16.arXiv.org/abs/math.CV/0403539 ; [14].
• 17.arXiv.org/abs/math.CV/0404127 ; [22].
• 18.arXiv.org/abs/math.CV/0404246 ; [18].
• 19.arXiv.org/abs/math.CV/0404248 ; [21].
• 20.arXiv.org/abs/math.CV/0404249 ; [26].
• 21.arXiv.org/abs/math.CV/0404250 ; [19].

§8. Références bibliographiques
(Articles de vulgarisation et de philosophie des mathématiques)

8.1. Articles publiés dans des revues à comité de lecture, articles de colloque et textes de séminaires

References

[phi1]

Joël Merker, L'ontologie explicite des théorèmes d'existence en mathématiques, Séminaire de Philosophie et Mathématiques (Maurice Loi, Pierre Cartier) , Paris, ENS Ulm, novembre 1996, 66 pp.

 

[phi2]

 Joël Merker, La satisfaction mathématique, texte écrit pour le Colloque Mathématiques et Inconscient, Paris, ENS Ulm, juin 1997, 28 pp.

 

[phi3]

 Joël Merker, Penrose ou l'apothéose du platonisme, Revue de l'HPMP (1998), 21--26.

 

[phi4]

 Joël Merker, Article Analyse Complexe, Encyclopédie d'Histoire et de Philosophie des Sciences, sous la direction de Dominique Lecourt, Presses Universitaires de France, 1999, 42--48.

 

[phi5]

 Joël Merker, Deux infinis cousus main, Revue de Synthèse, Numéro spécial Pensée des Sciences, (1999), 163--172.

 

[phi6]

 Joël Merker, L'Obscur mathématique ou l'Ouvert mathématique, Communication au colloque Le réel en mathématiques, Cerisy (Normandie), du 3 au 7 septembre 1999; Agalma Éditeur, Diffusion Le Seuil, Paris, 2004, pp. 65--91.

 

[phi7]

 Joël Merker, L'île mathématique, Revue Études, octobre 2001 et novembre 2001 (publié en deux parties), 395, no. 4, 341--351 et 395, no. 5, 493--504.

 

[phi8]

 Joël Merker, Hommage à Gilles Châtelet, Prépublication LATP, no. 7, 2001, 82 pp.

 

[phi9]

 Joël Merker, Itération et fractales dynamiques, Communication au colloque Épistémologie des systèmes dynamiques, Paris, École Supérieure de Chimie, novembre 1999. Éditions du CNRS, à paraître, 15 pp.

8.2. Travaux en préparation

References

[aphi]

Joël Merker, Commentaire philosophique et mathématique du theorema egregium de Gauss, 50 pp déjà rédigées.

 

[bphi]

Joël Merker, Métaphysique de l'ouverture mathématique, projet de thèse de philosophie des mathématiques, en gestation, 20 pp de résumé déjà rédigées.

§9. Élaboration de rapports scientifiques et de projets
(depuis 2002)

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~merker/

AC/Rapports/GDR/gdr.html
 
 
 

· Rédaction et mise à jour du rappport de l'Équipe d'Analyse et Géométrie Complexe (absorbée dans l'Équipe de Mathématiques Fondamentales depuis janvier 2004) pour la demande de renouvellement du Contrat Quadriennal (UMR 6632) du Laboratoire d'Analyse, Topologie et Probabilités, en juin 2002 et en novembre 2003.
 

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~merker/

AC/Rapports/Quadriennal/2002/quadriennal-2002.html
 
 
 

· Rédaction d'un projet d'ACI Nouvelles Interfaces des mathématiques, soumis au ministère en mai 2003. Le projet n'a pas été retenu parmi les 20 sur 150 qui ont été sélectionnés.

§10. Sélection de résultats en course de montagne (2003--2004)

10.1. Année 2003

·Chamonix-Courmayeur, 28 août 2003, 70 km, 4100 m de dénivellation positive, 24^ième sur 240.
 

·La Grande Course des Templiers, 24 octobre 2003, 65km, 2900m de dénivellation positive, Nant (12), 65^ième sur 1800.

10.2. Année 2004

·La course pédestre la plus longue et la plus difficile d'Europe : Ultra-Trail Tour du Mont-Blanc, du 27 au 29 août 2004, 155km, 8500m de dénivellation positive, 3 pays traversés ; 51^ième sur 1570 en 30h35mn ; 420 arrivants sur la course complète.
 
 
 
 
 
 
 
 

§11. Objectifs universitaires et pédagogiques pour les quatre prochaines années

11.1. Objectifs universitaires

• (1)Habilitation en mathématiques : printemps 2005.
• (2)Thèse en philosophie des mathématiques : hiver 2005--2006.

11.2. Objectifs de formation à la recherche

• (1) Créer un site web du GDR pour faciliter la circulation des informations auprès des étudiants auxquels sont principalement destinés les fonds du GDR. Inventer des nouvelles formes d'actions ciblées pour favoriser l'épanouissement scientifique des doctorants et jeunes post-doctorants.
• (2) Encadrer des étudiants en thèse. Créer des cours optionnels de réflexion sur l'écriture de mémoires qui seraient destinés aux élèves de niveau Master.
• (3) Encadrer des mémoires de Master Recherche Mathématique, en première ou en deuxième année.
• (4) Encadrer des stages pour les élèves de première ou de deuxième année de l'ENS Lyon.

§12. Objectifs en recherche mathématique

12.1. Méthode : recherche et écriture

Lorsque les questions que je me suis fixées en commençant un brouillon amélioré sont complètement résolues, je fais relier le manuscrit, afin de conserver une trace complète de tous les raisonnements et de tous les calculs intermédiaires qui ne seront pas tapés en Latex ; en effet, conserver cette trace m'évitera d'avoir à refaire les calculs que j'aurai à re-vérifier pour la publication finale. Pendant la recherche sur brouillon amélioré, ou bien à la fin de la recherche, je commence aussi à taper un texte en Latex. Ce texte sera volontairement abandonné dans un état d'inachèvement  ---  en quelque sorte en jachère  ---  et je travaille sur un autre sujet. C'est le cas pour [A], [B], [C] et [F]. Les fichiers Latex de [D], [E] et [G] ne sont pas encore vraiment commencés.

12.2. Objectifs immédiats classés par ordre de priorité

• (1) Achever le projet de publication [27] (invité par Morris Weisfeld et rémunéré) pour publication aux International Research Mathematics Notices, en lui ajoutant environ 50 à 80 pages de matériau de survol et en le réorganisant complètement. Si possible, entreprendre une première rédaction de [E], déjà bien débroussaillé sur manuscrit.
• (2) Achever d'écrire en Latex les vingt pages de calcul formel manquantes dans le projet de publication [C].
• (3) Écrire l'introduction de [B] et achever d'écrire en Latex les quinze pages manquantes.
• (4) Achever le texte [A], en déchiffrant tout ce qu'Élie Cartan a écrit dans son mémoire de 1922.
• (5) Achever les calculs manuels de [F].
• (6) Achever [G].
• (7) Corriger les calculs (faux, ainsi que les conséquences fausses qui en sont tirées) de l'article Uniformly Levi degenerate CR manifolds; the 5-dimensional case publié au Duke Mathematical Journal en 2001 par Ebenfelt.
• (8) Achever [E].

12.3. Objectifs à long terme (par ordre de difficulté)

• (1) Lire couramment dans le texte les OEuvres complètes d'Élie Cartan.
• (2) Devenir le spécialiste français des systèmes différentiels extérieurs et de la méthode d'équivalence d'Élie Cartan.
• (3) Classifier toutes les hypersurfaces analytiques réelles locales de C³ à biholomorphisme près.
• (4) Implémenter des algorithmes de calcul formel sur Maple en m'inspirant des astuces et des courts-circuits de calcul manuel que j'ai inventés.
• (5) Énoncer une condition nécessaire et suffisante générale  pour l'algébrisabilité locale des sous-variétés analytiques réelles de Cⁿ.

12.4. Directions de recherche séduisantes

• (1) Appliquer la théorie des éclatements locaux développée par O. Zariski et H. Hironaka à l'étude fine de la régularité des applications CR, idée qui n'a jamais été développée.
• (2) Appliquer une bonne connaissance interne de la désingularisation à l'étude des propriétés structurales des courants résiduels. À ma connaissance, tous les analystes complexes ayant travaillé sur les courants résiduels appliquent le théorème de désingularisation comme une << boîte noire >>.
• (3) Travailler sur le problème de la couronne. Une bonne intuition de la géométrie locale des bords strictement pseudoconvexes pourrait peut-être permettre de trouver la bonne généralisation en dimension supérieure des calculs compliqués effectués en dimension complexe égale à 1.
• (4) Se déplacer vers les mathématiques appliquées, notamment pour faire la synthèse entre les méthodes d'analyse numérique et la théorie de Lie des symétries des équations aux dérivées partielles.

§13. Présentation des travaux en mathématiques fondamentales
entrepris entre janvier 2003 et septembre 2004

13.1. Introduction

References

[21]

Joël Merker, Étude de la régularité analytique de l'application de réflexion CR formelle, Annales Fac. Sci. Toulouse, 90 pp, à paraître.

 

[22]

Joël Merker, Propagation of analyticity for essentially finite C^¥-smooth CR mappings, 25 pp, Manuscripta Math. to appear.

 

[27]

Joël Merker and Egmont Porten, Characteristic foliations on maximally real submanifolds of Cⁿ and envelopes of holomorphy, texte invité (et rémunéré) par Morris Weisfeld pour les International Mathematics Research Surveys, 113 pages de Latex, à développer en ajoutant des paragraphes de survol ; Prépublication, LATP, janvier 2004.

 

[a]

Olivier Albouy, Rémi Delannoye et Joël Merker, Sur les équations de la gravitation d'Einstein (d'aprés Élie Cartan), 104 pp déjà rédigées. Il y a encore 15 (sur 63) pages du mémoire (jugé obscur par H. Weyl) d'Élie Cartan que je ne comprends pas.

 

[b]

Joël Merker, Symmetries of completely integrable systems of analytic partial differential equations, in preparation ; 40 pp. already written.

 

[c]

Joël Merker, An explicit differential characterization of the Newtonian free particle system in m³ 2 dependent variables, 40 pp already written.

 

[d]

Joël Merker, Reflection principle with algebraic target, in project.

 

[e]

Joël Merker and Egmont Porten, Survey on holomorphic extension of CR functions and removable singularities, in project.

 

[f]

Joël Merker, Explicit Hachtroudi-Chern tensors and a characterization of local sphericity, in project ; 120 pages of hand manuscript.

 

[g]

Joël Merker, Two geometric characterization of real analytic subsets of Cⁿ containing no complex curves, in project.

Je rappelle mon appréciation personnelle du §7.6 :
 
 

• Grade 1 : [21], [27], [F], [C], [G].
• Grade 2 : [A], [E], [B].
• Grade 3 : [22], [D].

Pour simplifier, je propose d'exposer de manière détaillée (et si possible accessible) les résultats principaux des cinq travaux [21], [27], [C], [G], [22] et [A], avant de résumer très rapidement le contenu essentiel de [F], [E], [B], [D]. Pour que ces descriptions soient bien saisies, je m'inspire librement des introductions de ces textes, lorsqu'elles ont un caractère achevé, comme c'est le cas pour [21], [27], [C], [22] et [A]. Enfin, pour que ce rapport d'activité qui m'aura coûté une dizaine de jours de rédaction (corrections comprises) n'empiète pas au-delà sur mon temps de recherche, je m'autorise à décrire les travaux [27], [C], [G] et [22] en langue anglaise. Les descriptions des travaux [21], [27], [C], [G], [22], [A] et [E] seront toutes suivies d'une bibliographie spécialisée.

[21] : Étude de la régularité analytique de l'application de réflexion CR formelle

a. Introduction

Dans cet article [21] qui m'a été commandé par un éditeur des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, je démontre un théorème de convergence fin et plus général, valable sans aucune hypothèse de non-dégénérescence, et qui confirme la rigidité de la catégorie CR. Ce résultat s'interprète alors comme un principe de symétrie de Schwarz formel pour les applications CR. J'en déduis que toute équivalence CR formelle entre deux sous-variétés de Cⁿ génériques, analytiques réelles et minimales est convergente si et seulement si les deux sous-variétés sont holomorphiquement non-dégénérées (au sens de N. Stanton). Enfin, j'établis que deux sous-variétés de Cⁿ génériques, analytiques réelles et minimales sont formellement CR équivalentes si et seulement si elles sont biholomorphiquement équivalentes.

b. Bref historique

c. Méthodes algébriques

Conjecturalement, on s'attend à ce que presque tous les principes de réflexion connus soient valides dans le cas où M et M' sont toutes deux analytiques réelles. Malheureusement, la finitude intrinsèque au concept d'algébricité, qui est fortement utilisée dans ces travaux, fait défaut dans le cas général où M' est analytique réelle. On peut alors se demander si une sous-variété analytique réelle peut être rendue algébrique dans un système de coordonnées locales adéquat.

d. Non-algébrisabilité locale générique au sens de Baire

Un tel phénomène général de <<non-algébrisabilité>> locale générique (au sens de R. Baire) laisse entrevoir que les résultats précités, qui utilisent fortement l'algébricité, sont d'une portée restreinte. C'est pourquoi je préfère raisonner avec des outils purement analytiques, par exemple les espaces de jets ou ce que j'appellerai l'application de réflexion associée à h.

Pour énoncer le résultat principal de [21], je commencerai par définir les applications CR formelles inversibles, je définirai le concept de minimalité, puis j'introduirai cinq notions de non-dégénérescence en les exprimant en fonction des jets de sous-variétés de Segre, et enfin, je définirai l'application de réflexion CR formelle.

e. Applications CR formelles inversibles

Dans les coordonnées holomorphes t: = (t₁, ...,  t_n) canoniques de Cⁿ, la sous-variété M, entendue comme sous-ensemble de Cⁿ, peut être représentée comme l'ensemble des tÎ Cⁿ où s'annulent exactement d séries entières analytiques r_j (t,  t)ÎC { t,  t}, pour j=1, ...,  d ; de telles séries entières doivent satisfaire aux conditions de réalité r_j (t,  t) º r_j ( t,  t) pour j=1,  ...,  d, s'annuler pour t=0 et posséder des différentielles réelles dr₁,  ...,  dr_d qui sont indépendantes à l'origine. La généricité de M équivaut alors au fait que les différentielles complexes ¶ r₁, ...,  ¶ r_d sont elles aussi, de surcroît, indépendantes à l'origine.

De même, soient r₁' (t' ,  t') = 0,  ...,  r_d'' (t',  t') = 0 des équations cartésiennes définissant une autre sous-variété locale de C ^n', analytique réelle, générique, passant par l'origine, qui est de codimension d' ³ 1 et de dimension CR égale à m':= n'- d'³ 1, toutes deux strictement positives.

Soit h(t) := (h₁ (t),  ...,  h_n (t)) une collection de séries formelles h_i (t) Î C [[ t ]], i=1,  ...,  n, dont les termes constants s'annulent. Par définition, h induit une application CR formelle entre M et M' s'il existe une matrice de taille d' × d de séries formelles b(t ,  t) telle que l'on a l'identité formelle vectorielle r'( h(t) ,  h ( t )) º b (t,  t)   r(t , t), interprétée dans le produit C [[ t,  t]]^d := C[[ t,  t ]] × ··· × C[[ t,  t ]] contenant exactement d facteurs. On notera h: (M,  0) ¾® _F (M',  0) une telle application, avec en indice la lettre F, initiale du mot <<formel>>, car une telle application n'a rien d'une application ponctuelle.

f. Minimalité

On vérifie (voir  le §3.2 pour des explications) que dans tout système de coordonnées holomorphes locales (z ,  w) ÎC^m × C ^d telles que T₀ M + ( { 0} × C ^d ) = T₀ C ⁿ , la sous-variété complexifiée M peut être représentée par d équations analytiques complexes graphées de la forme x _j = Q _j( z, t), pour j=1,  ...,  d, où t = ( z,  x ) Î C^m × C ^d. Dans ce système de coordonnées, la collection de séries entières Q _j Î C { z,  t} est alors unique.

Commençons par présenter en résumé le concept de minimalité. On renvoie à la Section 3 pour une exposition de sa signification géométrique. Soit p un point M de coordonnées (z_p,  w_p,  z_p,  x_p) Î C^m × C^d × C^m × C^d. Soit z₁ Î C^m et soit z₁ ÎC^m. On définit les deux applications 

On dira que M est minimale (au sens de J.-M. Trépreau et A.E. Tumanov) s'il existe un entier µ₀ tel que l'image par G_µ0 d'un voisinage de l'origine arbitrairement petit dans C^mµ₀ contient un voisinage de 0 dans M. On démontre que cette condition est invariante par changement de coordonnées holomorphes locales. C'est tout ce qu'il suffira de savoir au sujet de la géométrie de la sous-variété source M. Dans le §3.20 de [21], on trouvera des éléments de comparaison avec la théorie concurrente des << ensembles de Segre >> qu'ont développée S.M. Baouendi P. Ebenfelt et L.-P. Rothschild à partir de 1995--96, sans  observer le lien direct avec la construction due à H.J Sussmann des orbites de systèmes de champs de vecteurs.

g. Jets de sous-variétés de Segre

Fixons t'Î C^n' et k Î N. La sous-variété de Segre complexifiée conjuguée est la sous-variété analytique complexe de C ^n' définie par S _t'' := { (z',  x ') Î C ^n' :   x' = Q ' (z', t')}. Définissons alors l'application de ses jets d'ordre k explicitement par 

• (nd1)Levi non-dégénérée à l'origine si j₁ ' est de rang m'+n' en (z',  t')= (0,  0) ;
• (nd2)finiment non-dégénérée à l'origine s'il existe un entier k₀ tel que j_k' est de rang n'+ m' en (z', t')= (0,  0), pour tout k³ k₀ ;
• (nd3)Essentiellement finie à l'origine si j_k' est est une application holomorphe finie en (z',  t')= (0,  0), pour tout k³ k₀ ;
• (nd4)Segre non-dégénérée à l'origine s'il existe un entier k₀ tel que la restriction de j_k' à la sous-variété de Segre complexifiée conjuguée S ₀' (qui est de dimension complexe égale à m') est de rang générique égal à m', pour tout k³ k₀ ;
• (nd5)holomorphiquement non-dégénérée s'il existe un entier k₀ tel que l'application j_k' est de rang générique maximal possible, égal à m' +n', pour tout k³ k₀.

Dans [26], je démontre que ces cinq conditions ne dépendent pas du système de coordonnées (z',  w') dans lequel on a représenté M' sous la forme x ' = Q'( z',  t').

Bien entendu, par souci de pureté, on pourrait en toute rigueur éviter d'introduire une terminologie spécifique pour de telles conditions de non-dégénérescence. Néanmoins, puisque l'usage a déjà consacré les quatre conditions que sont (nd1), (nd2), (nd3) et (nd5), dans [26], [21], j'adopte ces dénominations établies, et j'en introduirai de nouvelles ultérieurement.

La nécessité d'introduire la condition (nd4) est due à un exemple intéressant que l'on trouve page 721 de [].

Dans [26], j'établis les quatre implications

Les conditions (nd2) et (nd3) apparaissent explicitement dans []. C.K. Han obtient dans [] un principe de réflexion avec une formulation différente de (nd2). Il est important de noter que (nd1), (nd2) sont des hypothèses de rang constant sur l'application de jets  4 ; c'est pourquoi elles sont des plus aisées à manipuler (cf. [], [], [], [], [], []). Quant à la condition (nd3), elle n'est pas très éloignée de (nd2) du point de vue de la théorie des singularités ; elle a été répétitivement posée comme hypothèse du principe de réflexion analytique, suite au travail [] qui développait une technologie adéquate (cf. [], [], [], [], [], [] et [] pour une synthèse récente ; voir aussi [] pour une approche alternative, plus géométrique).

Il est important de remarquer que les quatre premières conditions (nd1), (nd2), (nd3) et (nd4) sont ponctuelles, tandis que la dernière ne l'est pas, puisqu'il s'agit d'un rang générique. Il existe des exemples de sous-variétés génériques qui sont holomorphiquement non-dégénérées, mais qui ne sont ni finiment non-dégénérées, ni essentiellement finies, ni même Segre non-dégénérées en certains points appartenant à un sous-ensemble analytique réel non vide de M'. Ainsi, la notion de non-dégénérescence holomorphe est la plus fine des cinq.

La condition intermédiaire (nd4), qui apparaît dans [], est déjà plus délicate. En vérité, pour les sous-variétés M' dites rigides dont les fonctions définissantes Q _j'' º Q _j' '( z',  z') ne dépendent pas de w', on vérifie que les conditions (nd4) et (nd5) sont équivalentes. Comme la condition (nd5), la condition (nd4) autorise que les fibres ( j_k' ) ^-1 ( j_k' ( z',  t' )) de l'application de jets soient de dimension non localement constante au voisinage de l'origine. Il est bien connu alors que les concepts standard de géométrie différentielle sont insuffisants : on entre dans le domaine de la théorie des singularités analytiques complexes.

Dans [], H. Hironaka met au point un procédé d'éclatements locaux successifs qui permet, par transformations strictes successives, de remplacer tout morphisme analytique local par un morphisme <<redressé>> qui satisfait la condition algébrique dite de <<platitude>> introduite par J.-P. Serre. Ce théorème dit d'<<aplatissement local>> implique la constance locale de la dimension des fibres, lorsque les espaces d'arrivée et de but du morphisme <<aplati>> sont lisses. L'existence de ce procédé suggère de l'appliquer à l'étude des applications CR formelles (cf. []). J'ai constaté que cette approche aboutit dans le cas des applications CR définies par des séries entières, mais dans [21], je n'utilise pas la théorie de H. Hironaka. En effet, grâce à un théorème dit d'approximation dû à M. Artin (voir  Théorème 2.5 ci-dessous), je peux résumer en partie la complexité causée par les singularités de l'application de jets d'ordre infini  4, pour k=¥ ; l'utilisation de ce théorème dans le sujet remonte à M. Derridj dans [], d'après une suggestion de A. Douady. La complexité de la preuve du résultat principal (Théorème [21]--1.23) ci-dessous demeurera substantielle, car elle implique un grand nombre de collections infinies d'identités formelles.

h. Non-dégénérescence holomorphe

La condition de non-dégénérescence holomorphe est connue pour être la condition nécessaire la plus naturelle pour qu'un principe de réflexion soit valide (cf. le premier article [] contenant une telle observation dans un cadre algébrique, cf. [10] pour un résultat sans condition de rang dans le cadre algébrique, et cf. [14] pour un résultat récent dans le cadre C ^¥). Rappelons-en le principe. Soit X' := å _i'=1 ^n'   a_i' ' (t')   ¶ / ¶ t_i'' un champ de vecteurs non nul et à coefficients holomorphes qui est tangent à M'. Soit (s',  t') exp(s' X')(t') le flot local de X', où s'Î C et t'ÎC^n'. Grâce à la condition de tangence, ce flot induit une famille à un paramètre d'automorphismes holomorphes locaux de M'. Dans [21], je vérifie qu'il existe de nombreuses séries entières non convergentes  v' ( t') Î C[[ t' ]] dont le terme constant est nul, telles que la composition du flot avec la substition du temps complexe s' par v'(t'), c'est-à-dire t' |® _F exp (v'(t') X') (t'), est une auto-application CR formelle inversible de M' non convergente. Une obstruction similaire au principe de réflexion se produit lorsque M' est holomorphiquement non-dégénérée, dans la catégorie algébrique, C^¥ ou C⁰.

La simplicité de cette obstruction laisse évidemment deviner que la non-dégénérescence holomorphe pourrait être une condition nécessaire et suffisante à la convergence de h. En supposant M minimale à l'origine, j'établis la réciproque attendue. C'est le premier résultat principal de [21], annoncé dans [11].Théorème [21]--1.11   Soit h:  (M,  0) ® _F (M',  0) une équivalence CR formelle entre sous-variétés de Cⁿ analytiques réelles, génériques, de même codimension d ³ 1 et de même dimension CR égale à m := n-d ³ 1. Si M est minimale à l'origine et si M' est holomorphiquement non-dégénérée, l'application CR formelle h est convergente.

Reste à s'interroger sur la nécessité de supposer M minimale à l'origine. On pourrait formuler et démontrer une version formelle du Théorème 2.7 de [10] énoncé dans un cadre algébrique, ce qui donnerai : si M n'est nulle part minimale et s'il existe un groupe à un paramètre réel d'auto-applications holomorphes locales stabilisant M, il existe de nombreuses auto-applications CR formelles de M qui ne sont pas convergentes. Par ailleurs, il a été démontré dans [] que le principe de réflexion algébrique pour les biholomorphismes est valide en supposant seulement que la sous-variété source M est minimale en tout point hors d'un sous-ensemble analytique réel strict. On parle alors de minimalité en un point Zariski-générique. Il existe donc une conjecture <<folklorique>> d'après laquelle le Théorème [21]--1.11 devrait être vrai en supposant seulement que M est minimale en un point Zariski-générique, ce qui signifie qu'elle n'est pas forcément minimale à l'origine, mais qu'elle est minimale en des points arbitrairement proches de l'origine.

Il s'agit là d'une hypothèse fine qui pourrait à nouveau impliquer la théorie des singularités. Pour l'instant, bien que quelques résultats soient connus pour le principe de réflexion C ^¥ entre hypersurfaces non minimales, aucun analogue formel n'est connu. Les idées font défaut, mais je considère que cette question mérite d'être étudiée.

i. Application de réflexion

Pour une application CR formelle h :  (M,  0) ¾®_F (M',  0), cet invariant se présente comme suit. Soient x_j'' - Q _j''( z',  t')=0, j'= 1,  ...,  d', des équations complexes arbitraires pour M' dans un voisinage de l'origine. Alors l'application de réflexion associée à h et à ce système de coordonnées s'exprime par une série formelle vectorielle à deux variables t' Î C^n' et t Î Cⁿ :

j. Résultats récents

En 1998, inspiré par mes conjectures sur l'application de réflexion prépubliées dans [] et par la remarque de la page 1098 du preprint de [] (issu en partie de cette prépublication), N. Mir⁵ a démontré de manière indépendante dans [] que l'application de réflexion associée à un biholomorphisme entre hypersurfaces algébriques est algébrique. Sa définition de l'application de réflexion élimine la variable x' dans  6 ; celle-ci a pourtant un sens géométrique, puisque la définition de R_h' est intrinsèquement reliée aux sous-variétés de Segre complexifiées. Ni dans ce travail, ni dans d'autres travaux ultérieurs [], [], [] consacrés à l'application de réflexion, N. Mir ne traite l'invariance biholomorphe de cette application. Or, pour peu que l'on établisse que l'algébricité de R_h' est une propriété invariante par changement de coordonnées algébriques (cf. [10] et [14]), le résultat principal de [] devient un corollaire élémentaire de []. En effet (cf. le §11 de [10]), en déplaçant légèrement le point de référence en un point où l'application de jets  4 est de rang localement constant -- ce qui est autorisé puisque l'application considérée est déjà holomorphe dans un ouvert -- et en éliminant des variables muettes, on se ramène à un biholomorphisme local entre deux sous-variétés algébriques réelles, génériques et finiment non-dégénérées contenues dans des espaces euclidiens complexes de dimensions inférieures ; alors les résultats de [] (codimension 1) ou de [] (codimension quelconque) s'appliquent directement. En résumé, pour le principe de réflexion algébrique, l'algébricité de la fonction de réflexion équivaut à l'algébricité d'une application holomorphe entre sous-variétés génériques de dimension inférieure (cf. le Théorème 11.4 de [10] qui établit cette équivalence sans aucune hypothèse de rang).

En revanche, pour les applications CR formelles (ou C^¥), il est vraiment impossible de déplacer la situation locale en un point où les singularités de l'application de jets  4 disparaissent.

Avant d'énoncer notre résultat principal, présentons une deuxième liste hiérarchisée, comportant cinq conditions CR-horizontales de non-dégénérescence.

k. Conditions CR-horizontales de non-dégénérescence

Pour exprimer ces conditions, travaillons d'emblée avec les équations complexes graphées pour M', ou plutôt avec les équations conjuguées w_j' = Q_j'' (z',  t'), j'=1,  ...,  d', qui sont équivalentes. Représentons aussi la complexification M de M par des équations complexes de la forme w_j = Q_j (z,  t ), j = 1,  ...,  d dans des coordonnées adaptées t = (z,  w) Î C^m × C^d. Posons r_j (t,  t) := w_j - Q _j (z,  t) et r_j'' (t',  t') := w_j''- Q_j'' (z',  t'). Par hypothèse, il existe une matrice de taille d' × d de séries formelles b (t,  t) telle que r' ( h (t),  h (t) ) º b(t ,  t)   r (t,  t) dans C [[ t,  t ]]^d. Décomposons les composantes de l'application d'une manière compatible avec le scindage (z',  w')Î C ^m' × C ^d' des coordonnées, ce qui donne h(t) =: ( f(t),  g(t))Î C [[ t ]] ^m' × C [[ t ]] ^d'. En remplaçant w par Q (z,  t) dans l'identité fondamentale r' ( h (t ),  h (t) ) º b( t,  t)   r (t,  t), le second membre s'annule identiquement et on obtient les identités formelles suivantes, valables dans C [[ z,  t ]] : 

• (cr1)CR-inversible à l'origine si m'=m et si sa partie CR-horizontale est une équivalence formelle en z=0 ;
• (cr2)CR-submersive à l'origine si m' £ m et si sa partie CR-horizontale est une submersion formelle en z=0 ;
• (cr3)CR-finie à l'origine si m' = m et si sa partie CR-horizontale est une application formelle finie en z=0 ;
• (cr4)CR-dominante à l'origine si m' £ m et si sa partie CR-horizontale est dominante en z=0 ;
• (cr5)CR-transversale à l'origine si sa partie CR-horizontale est transversale en z=0 ;

Dans [26], je vérifie les quatre implications

Le préfixe commun aux cinq conditions <<CR->> se justifie de la manière suivante : puisque l'espace tangent au point 0 ÎS₀ coïncide avec l'espace tangent complexe à M en 0, lequel absorbe la structure CR infinitésimale de M en 0, on peut penser que l'application formelle induite h_S0 :   ( S₀,  0) ¾®_F ( S₀',  0) est un <<prolongement>> de l'application CR tangente dh :   T₀^c M ® T₀^c M'.

Sélectionnons maintenant la condition (cr5), puisque c'est la plus générale.

l. Résultat principal

Dans le §4.30 de [21], je démontre que si cette propriété de convergence est satisfaite dans un tel système de coordonnées (z',  w'), alors pour tout autre système de coordonnées (z'',  w'') centrées à l'origine dans lesquelles la complexification de la sous-variété transformée est représentée par des équations similaires x_j'''- Q_j'''( z'',  t'') = 0, j'=1,  ...,  d', l'application de réflexion associée est elle aussi convergente.

La force principale de ce théorème réside dans le fait qu'il ne requiert aucune condition de non-dégénérescence sur M'. Comme pour le Théorème [21]--1.11, je pense bien entendu qu'il demeure valide en supposant seulement que M est minimale en un point Zariski-générique.

Attention, il y a un piège ! Par souci de généralité, on pourrait être tenté comme dans [] de raisonner avec des équations définissantes analytiques réelles arbitraires r _j' '( t',  t') = 0 pour M', telles qu'introduites au tout début. L'application de réflexion associée serait alors définie par R_h' (t',  t):= r _j'' (h(t),  t') Î C [[ t,  t' ]] ^d', et le Théorème [21]--1.23 exprimerait, sous les mêmes hypothèses, qu'elle est convergente. Mais en 1997, J.-M. Trépreau m'a fait remarquer qu'un tel énoncé serait trivialement faux (et sur le coup, cela a été dur !).

En effet, choisissons une série entière non convergente v( z₂) Î C [[ z₂]] telle que v (z₂) = z₂ + O(z₂²) et considérons l'application formelle définie par h(z₁,  z₂,  w ):= (z₁,  v(z₂),  w). C'est une équivalence CR formelle entre l'hypersurface algébrique M de C³ définie par w= w + i z₁ z₁ et (la même !) l'hypersurface de C³ définie par r ' =0, où r' := w' - w' + i z₁' z₁'. Notons que M' est holomorphiquement dégénérée, puisque le champ holomorphe ¶ / ¶ z₂' lui est tangent. Il est vrai que l'application de réflexion R_h' (t',  t) égale à x' - w + i z₁  z₁ ' est convergente. Par contre, il est vraiment faux que l'application de réflexion associée à une équation définissante arbitraire pour M' est convergente. En effet, prenons par exemple la fonction r'(t',  t') : = [1+ z₁' z₁' + z₂' z₂']   r'(t',  t') ; son lieu d'annulation coïncide avec M'. Si l'application de réflexion 

Comme je l'ai mentionné précédemment, N. Mir a obtenu dans [] une démonstration du Théorème [21]--1.23 pour les équivalences formelles dans le cas d= d' =1, mais la méthode, astucieuse, achoppe dès que la codimension d de M est supérieure ou égale à 2. La première version de [9], qui a circulé avant [], contenait seulement le Théorème [21]--1.11 dans le cas d = d' =1. Dans cette référence, l'existence de paires d'identités de réflexion conjuguées apparaissait clairement, bien qu'exploitée de manière insuffisante. En fait, dans la version publiée [9], il a suffi d'inclure le court §9 pour obtenir le Théorème [21]--1.23 pour les équivalences formelles dans le cas d= d' = 1. Cette paire d'identités de réflexion conjuguées étant absolument cruciale pour la démonstration du Théorème 1.23, je vais l'exposer ci-dessous.

En mai 2000, une démonstration complète du Théorème [21]--1.23 pour les équivalences CR formelles a été annoncée (math.CV/0005290). Cette annonce électronique a donné lieu à la publication résumée [11]. Sept mois plus tard, en décembre 2000, S.M. Baouendi, N. Mir et L.-P. Rothschild ont annoncé électroniquement le même type de résultats, avec les raffinements attendus sur le rang de l'application h, lesquels ne s'élèvent pourtant que jusqu'au niveau (cr4). Un examen de la publication [] à laquelle a donné lieu ce travail (qui ne contient plus les références à nos travaux présentes dans la version électronique) montre que ces auteurs utilisent les paires d'identités de réflexion conjuguées, ce que seul l'ultra-spécialiste peut déceler dans le coeur technique de la démonstration principale (voir les équations  5.2 et  5.3, la Proposition 6.1 et le Lemme 7.1 de []). Par ailleurs, ces auteurs, qui n'emploient pas la terminologie <<application de réflexion>> (utilisée pourtant dans [], []), introduisent une notion alternative d'<<idéal de Segre>>, laquelle est définie au moyen d'équations analytiques réelles arbitraires r _j' '( t',  t') =0 pour M'. Ce choix pour énoncer leurs théorèmes de convergence, les contraint à quelques circonlocutions, puisque la convergence de R _h' (t',  t) := r_j'' (h(t),  t') Î C [[ t,  t' ]] ^d' n'est satisfaite que pour les représentants graphés de l'idéal engendré par les séries entières complexifiées r _j' ' (t',  t'), comme on vient de le voir.

En conclusion de ce paragraphe, la prolixité et le raffinement des résultats présentés dans [] confinent à un certain hermétisme auquel je n'adhère pas, puisque les quatre concepts analytico-géométriques qui sont impliqués dans le sujet sont relativement simples :
 
 

• (1) Minimalité locale comme propriété des orbites de champs de vecteurs CR complexifiés, dont les sous-variétés intégrales coïncident avec les sous-variétés de Segre complexifiées (Section 3) ;
• (2) jets d'ordre k des sous-variétés de Segre complexifiées et diverses conditions de non-dégénérescence (Section 4) ;
• (3) application de réflexion CR comme invariant fondamental qui jouit de propriétés de régularité (Sections 1, 5 et 6) ;
• (4) conditions de non-dégénérescence CR-horizontales (Section 1) ;

Ce sont ces hypothèses multiples, combinées souvent à l'alternative entre catégorie algébrique et catégorie analytique, qui sont responsables de la combinatoire de théorèmes possibles publiés récemment sur le principe de réflexion analytique. Toutefois, cette diversité s'exerce au détriment de résultats plus rares où une difficulté substantielle a été surmontée et elle occulte leur repérage.

Exposons maintenant le point-clé qui est à la base de la démonstration du Théorème [21]--1.23.

m. Paire d'identités de réflexion conjuguées

En utilisant le même développement partiel en séries entières des Q _{j',  g'}'(z',  t'), on peut aussi réécrire les relations fondamentales  15 sous une forme plus explicite, dont le mérite principal est de faire clairement apparaître toutes les composantes de l'application de réflexion : 

Classiquement, on applique les dérivations antiholomorphes ( L ₁ ) ^b₁ ( L₁ ) ^b₂ ··· ( L _m) ^b_m au premier jeu d'équations  17. De manière équivalente, à une conjugaison près, on pourrait appliquer les dérivations conjuguées ( L ₁ ) ^b₁( L ₁ ) ^b₂ ··· ( L _m) ^b_m au second jeu d'équations  17. Au total, les deux procédés reviennent à choisir une fois pour toutes les variables t ou les variables t pour écrire les identités de réflexion. C'est le point de vue qui est adopté dans tous les travaux consacrés au principe de réflexion analytique que sont [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [], [10], [], [14], [], [] et [].

Il faut respecter une exigence de complétude : on dispose de deux jeux de d' équations formelles fondamentales  17 et de deux jeux infinis de dérivations fondamentales  18. Au total, ce ne sont donc pas deux mais quatre identités de réflexion que l'on devrait obtenir.

Pour les écrire, on observe que L_k (h) º 0 et que L _k ( h ) º 0 pour k = 1,  ...,  m, ce qui est évident d'après les formules  14. Il en découle que L^b( h ) º 0 et que L ^b( h ) º 0 puis aussi L^bQ_g' '( h) º 0 et L ^b( Q ' ( h ) ) º 0, pourvu bien sûr que b ¹ 0.

Ainsi, en appliquant les dérivations 18 pour b ¹ 0 aux identités  17, on obtient quatre familles infinies d'identités de réflexion. Disposons-les en deux paires conjuguées comme suit : première paire : 

La différence a son importance pour la raison suivante. D'après la propriété mentionnée après  16, le Théorème [21]--1.23 énonce essentiellement que les composantes Q _g''( h(t)) de l'application de réflexion sont des séries convergentes. Il n'énonce nullement que toutes les composantes de l'application h(t) sont convergentes. L'exemple élémentaire discuté après le Théorème [21]--1.23 (ou d'autres analogues) montre qu'en général, aucune contrainte de convergence n'est exercée sur les composantes de h qui n'apparaissent pas dans les composantes de l'application de réflexion. C'est pourquoi la première identité de réflexion  19 a le défaut majeur de faire intervenir inévitablement les dérivées d'éventuelles <<mauvaises>> composantes de h, tout du moins celles qui ne sont pas intrinsèquement liées à l'application invariante R_h'. Au contraire, dans la seconde identité  19 (tout aussi bien que dans la première identité  20), on différentie les vrais objets invariants que sont les composantes Q _g'' ( h ) (ou leurs conjuguées Q _{g '} '( h )).

À notre connaissance, les seuls travaux dans lesquels on considère aussi les seconde identités de réflexion  19 (ainsi que sa conjuguée, la première identité de  20) sont : [9], [10] et [].

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In the past fifteen years, remarkable progress has been made towards the understanding of the holomorphic extendability properties of CR functions. At the origin of this development, the most fundamental achievement was the deep discovery, due to the effort of numerous mathematicians, that the so-called CR orbits are the adequate underlying objects for the semi-local CR analysis on a general embedded CR manifold. As an independent and now established theory in several complex variables, one may find a precise correspondence between such orbits and progressively attached analytic discs covering a thick part of the envelope of holomorphy of CR manifolds, cf. [], [], [], [], [], [], [], [] and [] for a recent synthesis.

Within this framework, it became mathematically accessible to endeavour the general study of removable singularities on embedded CR manifolds MÌ Cⁿ of arbitrary CR dimension and of arbitrary codimension, not necessarily being the boundaries of (strictly) pseudoconvex domains. With respect to their size or ``mass'', the interesting singularities can be essentially ordered by their codimension in M. For instance, provided it does not perturb the fact that M consists of a single CR orbit, an arbitrary closed subset CÌ M which is of vanishing 2-codimensional Hausdorff content is always  removable, as is shown in [] in the hypersurface case and in [], Theorem 1.1, in arbitrary codimension. Hence one is left to study the removability of singularities of codimension at most two. Since the general problem of characterizing removability seems at the moment to be out of reach (even for M being a hypersurface), it is advisible to focus on geometrically accessible singularities, namely singularities contained in a CR submanifold of M. A complete study of the automatic removability of two-codimensional singularities may be found in Theorem 4 of []. Having in mind the classical Painlevé problem, we will mainly consider in this paper singularities which are closed sets C contained in a codimension one  submanifold M¹ of M which is generic  in Cⁿ.

The known results on singularities of codimension one can be subdivided into two strongly different groups according to the CR dimension of M. If CRdim  M ³ 2, then a generic hypersurface M¹Ì M is itself a CR manifold of positive CR dimension, and singularities CÌ M¹ can be understood on the basis of the interplay between C and the CR orbits of M¹. Deep results in this direction were established when M is a hypersurface of Cⁿ in [], [] and then generalized to CR manifolds of arbitrary codimension in []: the geometric condition insuring automatic removability is simply that C does not contain any CR orbit of M¹.

On the other hand, if CRdim  M=1 the geometric situation becomes highly different, as a generic hypersurface M¹Ì M is now (maximal) totally real. Fortunately, as a substitute for the CR orbits of M¹, one can consider the so-called characteristic foliation  of M¹, obtained by integrating the characteristic line field T^c M|_M¹ Ç TM¹. But removability theorems exploiting this concept were only known for hypersurfaces in C² and, until very recently, only in the strictly pseudoconvex case. Furthermore, a geometric condition insuring automatic removablitity has not yet been clearly delineated.

Hence, with respect to the current state of the art, there was a two-fold gap about codimension one removable singularities contained in generic submanifolds M of CR dimension one: firstly, to establish a satisfying theory for non-pseudoconvex hypersurfaces in C² and secondly, to understand the situation in higher codimension. This second main task was formulated as the first open problem in a list p. 432 of [] (see  also the comments pp. 431--432 about the relative geometric simplicity of the case CRdim  M ³ 2). A priori, it is not clear at all whether the two directions of research are related somehow, but in the present work, we shall fill in this two-fold gap by devising a new semi-local approach which applies uniformly with respect to codimension.

For the detailed discussion of our result we have to introduce some terminology which will be used throughout the article. Let M be a generic submanifold of Cⁿ and let C be a closed subset of M. Recall from [] that a wedgelike domain attached to a generic submanifold M'Ì Cⁿ is a domain containing a local wedge of edge M' at every point of M'. Our wedgelike domains will always be nonempty. Let us define three basic notions of removability. Firstly, we say that C is CR-removable if there exists a wedgelike domain W attached to M to which every continuous CR function fÎ C_CR⁰(M\ C) extends holomorphically. Secondly, as in [], p. 486, we say that C is W-removable if for every wedgelike domain W₁ attached to M\ C, there is a wedgelike domain W₂ attached to M and a wedgelike domain W₃ Ì W₁ Ç W₂ attached to M\ C such that for every holomorphic function fÎ O( W₁), there exists a holomorphic function FÎ O( W₂) which coincides with f in W₃. Thirdly, with p ÎRÈ {+¥} satisfying p ³ 1, we say that C is L^p-removable if every locally integrable function fÎ L_loc^p(M) which is CR in the distributional sense on M\ C is in fact CR on all of M.

The first notion of removability is a generalization of the kind of removability considered in most of the pioneering papers [], [], [], [], [], [], [], [] about removable singularities in boundaries of domains DÌ Ì Cⁿ. We observe that a wedgelike open set attached to a hypersurface M is just a (global) one-sided neighborhood of M, namely a domain w with wÉ M such that for every point pÎ M, the domain w contains the intersection of a neighborhood of p in Cⁿ with one side of M. If now a closed set C contained in a C¹-smooth bounded boundary ¶ D is CR-removable, then an application of the Hartogs-Bochner theorem shows that CR functions on ¶D\ C can be holomorphically extended to D. The second notion of removability is a way to isolate the part of the question related to envelopes of holomorphy. The third notion of removability has the advantage of being completely intrinsic with respect to M and may be relevant in the study of non-embeddable CR manifolds.

To avoid confusion, we state precisely our submanifold notion: Y is a submanifold of X if Y and X are equipped with a manifold structure, if there exists an immersion i of Y into X and if the manifold topology of Y and the topology of i(Y) inherited from the topology of X coincide, so that one may identify the submanifold Y with the subset i(Y)Ì X. Furthermore, our submanifolds will always be connected.

Let us now enter the discussion of the case n=2. Here we shall denote the submanifold M¹Ì M, which is a surface in C², by S. In [], E. Bishop showed that a two-dimensional surface in C² of class at least C² having an isolated complex tangency at one of its points p may be represented by a complex equation of the form w=z z+l(z²+ z²)+o( z²), in terms of local holomorphic coordinates (z,w) vanishing at p, where the real parameter lÎ [0,¥) is a biholomorphic invariant of S. The point p is said to be elliptic if lÎ [0,1/2), parabolic if l = 1/2 and hyperbolic if l Î (1/2, ¥). Recall that M is called globally minimal if it consists of a single CR orbit (cf. [], []; [], pp. 814--815; and [], pp. 266--269). Throughout this paper, we shall work in the C ^{2, a}-smooth category, where 0 < a < 1. Our first main new result is as follows.Theorem 1.1   Let M be a globally minimal C ^{2, a}-smooth hypersurface in C² and let D Ì M be a C ^{2, a}-smooth surface which is

• (a)C^2,a-diffeomorphic to the unit 2-disc of R² and
• (b) totally real outside a discrete subset of isolated complex tangencies which are hyperbolic in the sense of E. Bishop.

As a corollary, one obtains a corresponding result about holomorphic extension from ¶W\ K for the case that M is the boundary of a relatively compact domain WÌC². Note that ¶ W is automatically globally minimal ([], Section 2). We will first recall the historical background of Theorem 1.1 and explain afterwards on this basis the main ideas and techniques necessary for the proof.

In 1988, applying a global version of the Kontinuitätssatz, B. Jöricke [] established a remarkable theorem: every compact subset of a totally real C²-smooth 2-disc lying on the boundary of the unit ball in S³=¶ B₂Ì C² is CR-removable. This discovery motivated the work [] by F. Forstneric and E.L. Stout, where it is shown that every C²-smooth compact 2-disc contained in a strictly pseudoconvex C²-smooth boundary ¶W contained in a 2-dimensional Stein manifold M which is totally real except at a finite number of hyperbolic complex tangencies is removable; the proof mainly relies on a previous work by E. Bedford and W. Klingenberg about the hulls of 2-spheres contained in such strictly pseudoconvex boundaries W Ì M, which may be filled by Levi-flat 3-spheres after a generic small perturbation ([], Theorem 1). Indirectly, it followed from [] and [] that such compact totally real 2-discs DÌ ¶ W (possibly having finitely many hyperbolic complex tangencies) are O(W)-convex and in particular polynomially convex if D=B₂ and M=C², thanks to a previous work [] by E.L. Sout, where it is shown (Theorem II.10) that a compact subset K of a C²-smooth strictly pseudoconvex boundary ¶ W in a Stein manifold is removable if and only if  K is O(W)-convex. It is also established in [] that a neighborhood of an isolated hyperbolic complex tangency in C² is polynomially convex. These papers have been followed by the work [], where the question of O(W)-convexity of arbitrary compact surfaces S (with or without boundary, not necessarily diffeomorphic to a 2-disc) contained in a C²-smooth strictly pseudoconvex domain WÌ C² is dealt with directly. Using K. Oka's characterization of the envelope of a compact, J. Duval shows that the essential hull K_ess:= K_{O ( W )} \ K must cross every leaf of the characteristic foliation on the totally real part of S and he deduces that a compact 2-disc having only hyperbolic complex tangencies is O ( D )-convex.

All the above proofs heavily rely on strong pseudoconvexity, in contrast to the experience, familiar at least in the case CRdim  M ³ 2, that removability should depend rather on the structure of CR orbits than on Levi curvature. The first theorem for the non-pseudoconvex situation was established by the second author in []. He proved that every compact subset of a totally real disc embedded in a globally minimal C^¥-smooth hypersurface in C² is always CR-removable. We would like to point out that, seeking theorems without any assumption of pseudoconvexity leads to substantial open problems, because one loses almost all of the strong interweavings between function-theoretic tools and geometric arguments which are valid in the pseudoconvex realm, for instance: Hopf Lemma, plurisubharmonic exhaustions, envelopes of function spaces, local maximum modulus principle, Stein neighborhood basis, etc.

To discuss the main elements of our approach, let us briefly explain the geometric setup of the proof of Theorem 1.1. The characteristic foliation has isolated singularities at the hyperbolic points, where it looks like the phase diagram of a saddle point. In particular there are four local separatrices accumulating orthogonally at each hyperbolic point. Hence we can decompose the 2-disc D as a union D=T_D È D_o, where T_D consists of the union of the hyperbolic points of D together with the separatrices issuing from them, and where D_o:= D \ T_D is the remaining open submanifold of D, contained in the totally real part of D. By H. Poincaré and I. Bendixson's theory, T_D is a tree of C^2,a-smooth curves which contains no subset homeomorphic to the unit circle, cf. []. Accordingly, we decompose K:= K _TD È C_o, where K_TD:= K Ç T_D is a proper closed subset of the tree T_D and where C_o := K Ç D_o is a relatively closed subset of D_o.

The hard part of the proof, which was actually the starting point of the whole paper, will consist in removing the closed subset C_o of the 2-dimensional surface S:=D_o lying in M \ T_D. Thereafter the removal of the remaining part K_TD will be done by means of an investigation of the behaviour of the CR orbits near T_D, close in spirit to our previous methods in  [] (see  Section 12 below for the details).

Let us formulate the first crucial part of the above argument as an independent theorem about the removal of closed subsets contained in a totally real surface S. We point out that now S may have arbitrary topology.Theorem 1.2   Let M be a C ^{2, a} -smooth globally minimal hypersurface in C², let S Ì M be a C^{2, a}-smooth surface, open or closed, with or without boundary, which is totally real at every point. Let C be a proper closed subset of S and assume that the following topological condition holds:
 
 

• F _S^c {C}: For every closed subset C' ÌC, there exists a simple C^2,a-smooth curve g: [-1, 1] ® S, whose range is contained in a single leaf of the characteristic foliation F _S^c (obtained by integrating the characteristic line field T^cM _S Ç TS), with g (-1) ÏC', g (0) Î C' and g (1) ÏC', such that C' lies completely in one closed side of g [-1, 1] with respect to the topology of S in a neighborhood of g[-1,1].

Then C is CR-, W- and L ^p-removable.

The condition F_S^c {C } is a common condition  on C and on the characteristic foliation F_S^c, namely on the relative disposition of F_S^c with respect to C, not only on S; an illustration may be found in Figure 2 below. In the strictly pseudoconvex context, this condition appeared implicitly during the course of the proofs given in []. Note that the relevance of the characteristic foliation had earlier been discovered in contact geometry, cf. [], []. It is interesting to notice that it re-appears in the situation of Theorem 1.2, where the underlying distribution T^c M is allowed to be very far from contact.

As is known, it follows from a subcase of H. Poincaré and I. Bendixson's theory that if S is diffeomorphic to a real 2-disc or if S=D_o as above, then F_S^c {C} is automatically satisfied for an arbitry compact subset C of S. On the contrary, it may be not satisfied when for instance S is an annulus equipped with a radial foliation together with C containing a continuous closed curve around the hole of S. Crucially, it is elementary to construct an example of such an annulus which is truly nonremovable. Indeed, the small closed curve C which consists of the transversal intersection of a strictly convex boundary ¶ D with a complex line close to a boundary point may be enlarged as a thin maximally real strip SÌ ¶ D which is diffeomorphic to an annulus; in this setting, C is obviously nonremovable and the characteristic foliation is everywhere transversal to C. Consequently, the geometric condition F_S^c{C} is the optimal one insuring automatic removability for all choices of M, S and C. Further examples of closed subsets in surfaces with arbitrary genus equipped with such foliations may be exhibited.

In the proof of Theorem 1.2, after some contraction C' of C, we may assume that no point of C' is locally removable (see  Sections 2 and 3 below). Then the very assumption F_S^c{C} yields the existence of a characteristic segment g[-1,1], such that C' lies on one side of g[-1,1]. Reasoning by contradiction, our aim is to show that there exists at least one special point pÎ C'Ç g(-1,1), which is locally  CR-, W- and L^p-removable. The choice of such a point p, achieved in Section 5 below, will be nontrivial.

The strategy for the local removal of p is to construct an analytic disc A such that a segment of its boundary ¶ A is attached to S and touches C' in only one point p. Several geometrical assumptions have to be met to ensure that a sufficiently rich family of deformations of A have boundaries disjoint from C', that analytic extension along these discs is possible (i.e. appropriate moment conditions are satisfied), and that the union of these good discs is large enough to give analytic extension to a one-sided neighborhood of M: this is where the (semi)localization and the choice of the special point pÎ C' will be key ingredients. Let us explain why localization is crucial.

Working globallly, the second author produced in [] a convenient disc by applying the powerful E. Bedford and W. Klingenberg theorem to an appropriate 2-sphere containing a neighborhood of the entire  singularity C'. This method requires global properties of S like S being a totally real 2-disc, which ensures the existence of a nice Stein neighborhood basis of C'. Already for real discs with isolated hyperbolic points, it is not clear whether this argument can be generalized (however, we would like to mention that recent results of M. Slapar in [] indicate that this could be possible at least if the geometry near the hyperbolic points satisfies some additional assumptions). In the case where M is an arbitrary globally minimal hypersurface, where S has arbitrary topology and has complex tangencies, the reduction to E. Bedford and W. Klingenberg's theorem seems impossible, cf. the example of an unknotted nonfillable 2-sphere in C² constructed by J.E. Fornæss and D. Ma in []. Also, to the authors' knowledge, the possibility of filling by Levi-flat 3-spheres the (not necessarily generic) 2-spheres lying on a nonpseudoconvex  hypersurface is a delicate open problem. In addition, for the higher codimensional generalization of Theorem 1.2, the idea of global filling seems to be irrelevant at present times, because no analog of the E. Bedford and W. Klingenberg theorem is known in dimension n³ 3. As we aim to deal with surfaces S having arbitrary topology and to generalize these results in arbitrary codimension, we shall endeavour to firmly localize the removability arguments, using only small analytic discs.

Thus, our way to overcome these obstacles is to consider local discs A which are only partially attached to S. The delicate point is that we have at the same time (i) to control the geometry of ¶ A near pÎ C' and (ii) to guarantee that the rest of the boundary stays in the region where holomorphic extension is already known. In fact, (ii) will be incorporated in our very special and tricky choice of pÎ C'. For (i), we have to sharpen known existence theorems about partially attached analytic discs and to combine it with a careful study of the complex/real geometry of the pair (M,S). Importantly, our construction of such analytic discs is achieved elementarily in a self-contained way. A precise description of the proof in the hypersurface case (only) may be found in Section 2 below. With some substantial extra work, we shall generalize this purely local strategy of proof to higher codimension.

To conclude with the removal of surfaces, let us formulate a more general version of Theorem 1.1, whitout the restricted topological assumption that S be diffeomorphic to a real disc. Applying Theorem 1.2 for the removal of KÇ (S\ T_S) and a slight generalization of Theorem 4 (ii) in [] for the removal of KÇ T_S (more precisions will be given in §13 below), we shall obtain the following statement, implying Theorem 1.1 as a direct corollary.Theorem 1.3   Let M be a C ^{2, a} -smooth globally minimal hypersurface in C², let S Ì M be a C^{2, a}-smooth totally real surface, open or closed, with or without boundary, which is totally real outside a discrete subset of isolated complex tangencies which are hyperbolic in the sense of E. Bishop. Let T_S be the union of hyperbolic points of S together with all separatrices issued from hyperbolic points and assume that T_S does not contain any subset which is homeomorphich to the unit circle. Let K be a proper compact subset of S and assume that F_{S\ TS}^c {K Ç (S \ T_S)} holds.

Then K is CR-, W- and L ^p-removable.

As was already emphasized, our main motivation for this work was to devise a local strategy of proof for Theorems 1.1, 1.2 and 1.3 in order to generalize them to higher codimension. In fact, we will realize the program sketched above for generic submanifolds of CR dimension 1 and of arbitrary codimension. Thus, let M be a C2,a-smooth globally minimal generic submanifold of codimension (n-1) in Cn, hence of CR dimension 1, where n³ 2. Let M1 be a maximally real C2,a-smooth one-codimensional submanifold of M which is generic in Cn. As in the surface case, M1 carries a characteristic foliation FM1c, whose leaves are the integral curves of the line distribution TM1ÇTcMM1. Of course the assumption that the singularity lies on one side of some characteristic segment is no longer reasonable. We will generalize it as a condition requiring (approximatively speaking) that there be always a characteristic segment which is accessible from the complement of C in M1 along one direction normal to the characteristic segment.

The generalization of Theorem 1.2, which is our principal result in this paper, is as follows.Theorem 1.2'   Let M, M1, FM1c be as above and let C be a proper closed subset of M. Assume that the following topological condition, meaning that C is not transversal to the characteristic foliation, holds:

• F M1 c {C}: For every closed subset C' Ì C, there exists a simple C2, a-smooth curve g: [-1,1] ® M1 whose range g[-1,1] is contained in a single leaf of the characteristic foliation FM1c with g(-1)ÏC', g (0) Î C' and g (1) ÏC', there exists a local (n- 1)-dimensional transversal R1 Ì M1 to g passing through g(0) and there exists a thin elongated open neighborhood V1 of g [-1,1] in M1 such that if p F M1c: V1 ®R1 denotes the semi-local projection parallel to the leaves of the characteristic foliation F M1c, then g(0) lies on the boundary, relatively to the topology of R1, of pFM1c(C' Ç V1).

Then C is CR-, W- and L ^p-removable.

The condition F M1c {C }, which is of course independent of the choice of the transversal R1 and of the thin neighborhood V1, is illustrated in Figure 8 of §5.1 below; clearly, in the case n =2, it means that C' Ç V1 lies completely in one side of g [-1, 1], with respect to the topology of M1, as written in the statement of Theorem 1.2. Applying some of our previous results in this direction ([], []), we shall provide in the end of Section 13 below some formulations of applications of Theorem 1.2', close to being analogs of Theorem 1.3 in higher codimension.

Importantly, in order to let the geometric condition FM1c{C} appear less mysterious and to argue that it provides the adequate generalization of Theorem 1.2 to higher codimension, in the last Section 14 below, we shall describe an example of M, M1 and C in C3 violating the condition FM1c{C}, such that C is transversal to the characteristic foliation and is truly nonremovable. This example will be analogous in some sense to the example of a nonremovable annulus discussed after the statement of Theorem 1.2. Since there is no H. Poincaré and I. Bendixson theorem for foliations of 3-dimensional balls by curves, it will be even possible to insure that M and M1 are diffeomorphic to real balls of dimension 4 and 3 respectively. We may therefore conclude that Theorem 1.2' provides the desirable answer to the (already cited supra) Problem 2.1 raised by B. Jöricke in [], p. 432.

To pursue the presentation of our results, let us comment the assumption that M be of codimension (n-1). Geometrically speaking, the study of closed singularities C lying in a one-codimensional generic submanifold M¹ of a generic submanifold MÌ Cⁿ which is of CR dimension m³ 2 is more simple. Indeed, thanks to the fact that M¹ is of CR dimension m-1³ 1, there exist local Bishop discs completely attached to M¹, and this helps much in describing the envelope of holomorphy of a wedge attached to M\ C. On the contrary, in the case where M is of CR dimension 1, small analytic discs attached to a maximally real M¹ are (trivially) inexistent. This is why, in the proof of our main Theorems 1.2 and 1.2', we shall deal only with small analytic discs whose boundary is in part (only) contained in M¹. Such discs are known to exist; we would like to mention that historically speaking, the first construction of discs partially attached to maximally real submanifolds was exhibited by S. Pinchuk in [], who developed the ideas of E. Bishop [].

Finally we will test our main Theorem 1.2' in applications. First of all, we clarify its relation to known removability results in CR dimension greater than one. Here the motivation is simply that most questions of CR geometry should be reducible to CR dimension 1 by slicing. It turns out that the main known theorems about removable singularities, due to E. Chirka, E. L. Stout, and B. Jöricke for hypersurfaces, and by the authors in higher codimension ([], Theorem 1 about L ^p-removability; [], Theorem 3 about CR- and W- removability) are all a rather direct consequence of Theorem 1.2'. Since these results have not yet been published in complete form, we take the occasion of including them in the present paper, as a corollary of Theorem 1.2', yet devising a new geometric approach.Theorem 1.4   Let M be a C^{2, a}-smooth globally minimal generic submanifold of Cⁿ of CR dimension m³ 2 and of codimension d=n- m³ 1, let M¹ Ì M be a C^{2, a}-smooth one-codimensional submanifold which is generic in Cⁿ and let C Ì M¹ be a proper closed subset of M. Assume that the following condition holds:

• OM1CR{C}: The closed subset C does not contain any CR orbit of M1.

Notice the difference with the case m=1, where the analog of CR orbits would consist of characteristic curves: the condition FM1c{C} does not  say that C should not contain any maximal characteristic curve. In fact, we observe that there cannot exist a uniform removability statement covering both the case m=1 and the case m³ 2, whence Theorem 1.2' is stronger than Theorem 1.4. Indeed, the elementary example of a nonremovable circle in an annulus contained in the boundary of a strictly convex domain of C2 shows that C may be truly nonremovable whereas it does not contain any characteristic curve. In the strictly pseudoconvex hypersurface setting, it is well known that Hopf's Lemma implies that boundaries of Riemann surfaces contained in C (and also the track on C of its essential hull, cf. []) should be everywhere transversal to the characteristic foliation. Of course, this implies conversely that C cannot contain such boundaries (unless they are empty) if FM1c{C} is satisfied. The reason why FM1c{C} implies that C is removable also in the nonpseudoconvex setting and in arbitrary codimension will be appearant later. Finally, we mention that the Lp-removability of C in Theorem 1.4 holds more generally with no assumption of global minimality on M, as already noticed in [], [], []. However, since the case where M is not globally minimal essentially reduces to the consideration of its CR orbits, which are globally minimal by definition, we shall only deal with globally minimal generic submanifolds M throughout this paper.

As a final comment, we point out that, because the previously known proofs of Theorem 1.4 were of local type, it is satisfactory to bring in this paper a purely local framework for the treatment of Theorems 1.1, 1.2, 1.3 and 1.2'.

Our second group of applications concerns the classical edge of the wedge theorem. Typically one considers a maximally real edge E to which an open double wedge ( W₁, W₂) is attached from opposite directions. One may interprete this configuration as a partial thickening of a generic CR manifold MÌ EÈ W₁È W₂ containing E as a generic hypersurface. The classical edge of the wedge theorem states that functions which are continuous on W₁ È W₂ È E and holomorphic in W₁ È W₂ extend holomorphically to a neighborhood of E. Theorem 1.2' implies that it suffices to assume continuity outside a removable singularities of E. This allows us to derive an edge of the wedge theorem for meromorphic extension (Section 13 below).

This paper is divided in two parts: Part I contains the strategy per absurdum for the proof of Theorem 1.2', the construction of what we call a semi-local half-wedge and the choice of a special point to be removed locally. Part II contains the explicit construction of families of half-attached analytic discs, the end of proof of Theorem 1.2' and the proofs of the various applications. The reader will find a more detailed description of the content of the paper in §2.16 below.

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[C] : Caractérisation différentielle explicite du système de particules newtoniennes libres

Heureusement, ma méthode suit les traces de la théorie de S. Lie, et non celle de la théorie de É. Cartan ; mes calculs massifs, explicites et délicats sont donc apparemment nouveaux. Par ailleurs, M. Hachtroudi travaille seulement avec un système différentiel, jamais avec la sous-variété des solutions associée ; aussi toute la technologie de calculs manuels que j'ai élaborée sera réapplicable dans plusieurs situations nouvelles. Seul bémol : les textes écrits vont << gonfler >>, au point qu'il me sera sûrement difficile de faire publier mes résultats.

1.1. Motivation

For instance, according to an early and often cited theorem due to S. Lie, the Newtonian free particle equation Y_XX=0, with one degree Y of freedom and one independent variable X; we use the index notation to denote partial derivatives, is the unique (up to coordinate changes) second order ordinary differential equation which admits a point symmetry group of maximal dimension equal to eight ; then its symmetry group is unique and consists of the full group of two-dimensional projective transformations. Sometimes, this equation is called flat, such a terminology being inspired by the notion of zero curvature in the sense of C.F. Gauss and B. Riemann, after that É. Cartan attached in [] a projective connection, together with some curvature, to any second order differential equation, the class of equations equivalent to Y_XX=0 being precisely characterized by the vanishing  of the curvature. More importantly, S. Lie also obtained in 1883 an explicit characterization of the local equivalence to the Newtonian free particle equation with one degree of freedom Y_XX=0, which appears to be rather fundamental, with respect to practical purposes.Theorem 1.2   (Sophus Lie, [], pp. 362--365) Let K=R of C. Let xÎ K and yÎ K. A local second order ordinary differential equation y_xx =F( x, y, y_x) is equivalent under an invertible point transformation (x, y)|® (X (x,y), Y (x,y)) to the free particle equation Y _XX =0 if and only if the following two conditions are satisfied:

• (i)F_{yx yx yx yx} =0, or equivalently F is a degree three polynomial in y_x, namely there exist four functions G, H, L and M of (x,y) such that F can be written as
F(x,y,y_x)=G(x,y)+y_x· H(x,y)+ (y_x)²· L(x,y)+(y_x)³· M(x,y);     (1.3)
• (ii) the four functions G, H, L and M satisfy the following system of two second order quasi-linear partial differential equations:
 

ì í î

0 = -2  Gyy +

4 3

Hxy -

2 3

Lxx+ + 2  (G  L)y-2  Gx  M-4  G  Mx+

2 3

H  Lx-

4 3

H  Hy,0 = -

2 3

Hyy +

4 3

Lxy - 2  Mxx+ +2  G  My+4  Gy  M- 2  (H  M)x-

2 3

Hy  L+

4 3

L  Lx.

(1.4)

Notice that the second equation in  1.4 is obtained formally from the first equation in  1.4, by replacing (G,H,L,M) (-M, -L, -H, -G) and (x,y)|® (y,x).

The first part of this paper is devoted to a detailed exposition of the original proof of Theorem 1.2 due to S. Lie himself; in fact, to the author's knowledge, there is no modern restitution of this proof in the contemporary literature, whereas the description of an alternative proof of Theorem 1.2 by means of É. Cartan's equivalence method appears in the references  [], [], [], []; see [], [], [] for background about É. Cartan's theory. We note that in these references (except notably []), the already substantial computations are stopped just after the reduction to an {e}-structure on a eight-dimensional (local) principal bundle over the three-dimensional first order jet space. The vanishing of two (among four) fundamental tensors in the structure equations of the obtained {e}-structure yields two partial differential equations satisfied by the right hand side F(x,y,y_x), which are equivalent to (i) and (ii) of Theorem 1.2. We note that with the help of Maple programming, L. Hsu and N. Kamran achieved in [] the complete reduction to an {e}-structure on the base  (not only on the principal bundle) in the simpler case of so-called fiber-preserving  transformations, namely point transformations leaving invariant the ``vertical'' foliation {x=ct.}. In the classical reference [], applying S. Lie's theory of differential invariants (cf. []) and S. Lie's group classification of second order differential equations, A. Tresse produces the complete list of differential invariants for each class of differential equation with fixed group, uneder general point transformations. To the autor's knowledge, the complete confirmation of A. Tresse's results by means of É. Cartan's method has never been achieved, possibly because the computations are much harder than in S. Lie's theory; even a complete modern rewriting of A. Tresse's thesis would require a substantial amount of work.

In sum, we would like to point out that for just characterizing the flat equation Y_XX=0, S. Lie's original proof in [] is, from the point of view of the size of computations, much shorter than the reduction to an {e}-structure through É. Cartan's method of equivalence. In the references [], [], [], most straightforward intermediate computations for the reduction to an {e}-structure are essentially left to the reader (as well as in most of É. Cartan's works), but they are consequent.

On the contrary, in this paper, since we want to provide two  generalizations of S. Lie's Theorem 1.2, we shall carefully detail each intermediate computational step, seeking first the combinatorics of the formal calculations in the case m=1 and devising then the underlying combinatorics for the case m³ 2. Actually, the size of differential expressions is relatively impressive, as will become clear soon.

1.5. Systems of second-order ordinary differential equations