Libellés des leçons

Leçons d'Algèbre (session 2004)

101	Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
102	Sous-groupes discrets de Rn. Réseaux.
103	Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
104	Groupes finis. Exemples et applications.
105	Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
106	Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
107	Sous-groupes finis de O(2,R), de O(3,R). Applications.
108	Exemples de parties génératrices d'un groupe.
109	Anneaux Z/nZ. Applications.
110	Nombres premiers. Applications.
111	Exemples d'application des idéaux d'un anneau commutatif unitaire.
112	Anneaux principaux
113	Corps finis. Applications.
114	Groupe des nombres complexes de module 1. Applications.
115	Équations diophantiennes du premier degré ax +by = c. Autres exemples d'équations diophantiennes.
116	Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.
117	Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
118	Algèbre des polynômes à n indéterminées (n >= 2). Polynômes symétriques. Applications.
119	Racines des polynômes à une indéterminée. Relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme. Exemples et applications.
120	Polynômes orthogonaux. Exemples et applications
121	Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
122	Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications.
123	Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice. Résolution d'un système d'équations linéaires. Exemples et applications.
124	Déterminant. Exemples et applications.
125	Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
126	Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
127	Endomorphismes diagonalisables.
128	Exponentielle de matrices. Applications.
129	Endomorphismes nilpotents.
130	Polynômes d'endomorphismes. Applications.
131	Exemples de décompositions remarquables dans le groupe linéaire. Applications.
132	Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
133	Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.
134	Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie.
135	Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie.
136	Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Formes réduites. Applications.
137	Coniques.
138	Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie ; convexité. Applications.
139	Homographies de la droite complexe. Applications.
140	Applications des nombres complexes à la géométrie.
141	Utilisation des angles en géométrie.
142	Utilisation des groupes en géométrie.
143	Exemples de propriétés projectives et d'utilisation d'éléments à l'infini.
144	Constructions à la règle et au compas.
145	Applications affines
146	Problèmes d'angles et de distances en dimension 2 et 3.
147	Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Leçons d'Analyse (session 2004)

201	Espaces de fonctions. Exemples et applications.
202	Exemples de parties denses et applications.
203	Utilisation de la notion de compacité.
204	Connexité : exemples et applications
205	Espaces complets. Exemples et applications.
206	Utilisation de théorèmes de point fixe.
207	Prolongement de fonctions. Applications.
208	Utilisation de la continuité uniforme en analyse.
209	Utilisation de la dénombrabilité en analyse et en probabilités.
210	Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés. Exemples et applications.
211	Utilisation de la dimension finie en analyse.
212	Méthodes hilbertiennes en dimension finie et infinie.
213	Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
214	Applications du théorème d'inversion locale et du théorème des fonctions implicites.
215	Applications différentiables définie sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
216	Étude de courbes. Exemples.
217	Etude locale de surfaces. Exemples
218	Applications des formules de Taylor.
219	Problèmes d'extremums.
220	Équations différentielles X' = f(t,X); exemples d'études qualitatives des solutions.
221	Équations différentielles linéaires, systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
222	Exemples d'équations différentielles. Solutions exactes ou approchées.
223	Convergence des suites numériques. Exemples et applications.
224	Comportement asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples.
225	Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération un+1 = f(un). Exemples.
226	Développement asymptotique d'une fonction d'une variable réelle.
227	Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
228	Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
229	Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
230	Illustrer par des exemples et des contre-exemples la théorie des séries numériques.
231	Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(X)=0. Exemples.
232	Intégrale d'une fonction d'une variable réelle. Suites de fonctions intégrables.
233	Espaces Lp, 1 <= p <= +infini
234	Interversion d'une limite et d'une intégrale. Exemples et applications.
235	Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.
236	Problèmes de convergence et de divergence d'une intégrale sur un intervalle de R.
237	Méthodes de calcul des valeurs approchées d'une intégrale.
238	Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
239	Transformation de Fourier et produit de convolution. Applications.
240	Suites et séries de fonctions: exemples et contre-exemples.
241	Exemples d'utilisation de fonctions définies par des séries.
242	Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
243	Fonctions d'une variable complexe, holomorphie. Exemples et applications.
244	Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C.
245	Développement d'une fonction périodique en série de Fourier. Exemples et applications.
246	Exemples de problèmes d'interversion de limites.
247	Approximation des fonctions numériques par des fonctions polynomiales ou polynomiales par morceaux. Exemples.
248	Le jeu de pile ou face (suites de variables de Bernoulli indépendantes).
249	Loi binomiale, loi de Poisson. Applications.
250	Indépendance d'événements et de variables aléatoires. Exemples.
251	Parties convexes, fonctions convexes (d'une ou plusieurs variables). Applications

Leçons de Calcul Scientifique (session 2004)

301	Appliquer et comparer des méthodes numériques ou symboliques de réduction des matrices dans des problèmes issus de modélisations.
302	Utiliser et comparer des méthodes numériques ou symboliques de résolution de systèmes linéaires dans des problèmes issus de modélisations.
303	Dégager et étudier par des méthodes numériques ou symboliques des systèmes d'équations non linéaires - par exemple polynomiales - dans des problèmes issus de modélisations.
304	Utiliser dans des problèmes issus de modélisations des résultats relatifs à l'approximation ou à l'interpolation de fonctions.
305	Utiliser et comparer des méthodes numériques ou symboliques de résolution d'équations différentielles dans des problèmes issus de modélisations.
315	Utiliser et comparer des méthodes numériques ou symboliques de résolution d'équations aux dérivées partielles dans des problèmes issus de modélisations.
306	Application de la transformation ou des séries de Fourier - par exemple aux équations aux dérivées partielles.
307	Propriétés qualitatives d'une équation différentielle ou d'un système différentiel, applications.
308	Utiliser et comparer des méthodes de factorisation et de recherche des racines d'un polynôme, applications.
309	Appliquer et comparer des méthodes de minimisation dans des problèmes issus de modélisations.
310	Problèmes liés à la représentation des courbes et des surfaces.
311	Etudier la dépendance des solutions d'une équation par rapport à un paramètre dans des problèmes issus de modélisations.
312	PGCD, PPCM: méthodes de calcul et applications.
313	Applications des congruences ou des corps finis.
314	Applications de la convexité dans des problèmes issus de modélisations.

Leçons de Probabilités (session 2004)

401	Exemples d'application de lois des grands nombres et du théorème de la limte centrale en situation de modélisation.
402	A partir d'exemples issus de la modélisation, motiver, décrire et critiquer une méthode probabiliste pour le calcul approché d'une intégrale.
403	Utilisation de l'espérance conditionnelle dans différents modèles.
404	Exemples d'utilisation des martingales en modélisation.
405	Utilisation en modélisation des vecteurs aléatoires gaussiens.
406	Exemples d'utilisation du modèle linéaire gaussien en modélisation.
407	Exemples et principes de tests statistiques en modélisation.
408	Utilisation d'ensembles de confiance en modélisation.
409	Utilisation en modélisation de la notion de fonction de répartition empirique.
410	Utilisation de lois exponentielles en modélisation.
411	Applications des méthodes de simulation de variables ou de vecteurs aléatoires à des problèmes de modélisation.
412	Exemples liés à la modélisation de chaînes de Markov récurrentes ou transientes à espace d'états au plus dénombrable.
413	A partir d'exemples liés à la modélisation, décrire la convergence d'une chaîne de Markov vers une loi invariante.
414	Utilisation de la loi de Poisson en modélisation.
415	Utilisation(s) de la transformée de Laplace ou de la fonction génératrice dans des problèmes de modélisation.
416	Traitement de données : analyse de la variance et/ou analyse en composantes principales

Textes de Calcul Scientifique (session 2003)

507	La corde élastique.
511	Phénomènes de propagation et circulation automobile.
527	Codes correcteurs d'erreurs.
536	Un modèle de battement du coeur
537	Système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.
539	Profils générés par certaines bactéries dans un milieu liquide.
542	Contrôle frontière de l'équation des ondes.
543	Modélisation de la pénétration d'anticorps dans des tumeurs.
544	Modélisation de l'influx nerveux.
547	Ondes de détente pour les lois de conservation.
551	Modélisation d'un réacteur biologique.
553	Débit d'une artère.
556	Agglomération des globules rouges dans le sang.
560	Résolutions de systèmes linéaires en entiers naturels.
561	Construction de carrés magiques.
562	Géométrie d'une molécule.
563	Tomographie.
571	Sac à dos et réseaux.
575	La méthode des ellipsoïdes.
577	Autour d'un théorème de Shannon.
578	Stratégie de pénétration d'un virus de la fièvre aphteuse.
583	Cryptographie et factorisation.
584	Lemmes Chinois et calcul modulaire.
585	Sommation de séries alternées.
590	Construction explicite de surfaces algébriques dont la projection est imposée.
591	Transformations orthogonales et compression.

Textes de Probabilités (session 2003)