»Retour à la page principale

    Comportements oscillants, ondes gravitationnelles

    ou "ce qu'il y a de commun entre Einstein et une chauve-souris..."


Les chirps en traitement du signal
Les ondes gravitationnelles, perturbations de l'espace temps prévues par la théorie de la relativité générale,

ondes gravitationnelles

et les signaux d'écholocation des chauves-souris sont des  "chirps" (des "gazouillements d'oiseau" littéralement !).

En traitement du signal, les chirps sont des signaux modulés en fréquence: essentiellement ils peuvent s'écrire sous la forme A(t)cos(g(t)) avec A de variations "lentes" devant celles de g (voir précisions).


chirp


De nombreux signaux de la physique et de la biologie sont des chirps: sonars animaux, sifflements atmosphériques en géophysique, propagation d'impulsion dans les milieux dispersifs en acoustique, activités nerveuses dans les données EEG lors de crises d'épilepsie, contractions utérines dans les données EMG...Ils sont aussi largement utilisés dans les systèmes artificiels: radars, sonars, contrôle non destructif de matériaux et exploration sismique...


Sur les ondes gravitationnelles en particulier:
L'existence (non encore confirmée) des ondes gravitationnelles a été prédite par la théorie de la relativité générale d'Einstein. Les ondes gravitationnelles seraient les solutions d'une équation de propagation du champ gravitationnel de la même façon que les ondes lumineuses vérifient l'équation de propagation du champ électromagnétique. Ou autrement dit il s'agirait de fluctuations de l'espace-temps engendrées par les variations de la densité de matière à un endroit donné. Leur amplitude serait extrêmement faible mais les progrès technologiques ont permis d'espérer pouvoir détecter celles créées par des systèmes stellaires très massifs, les binaires d'étoiles à neutrons, de trous noirs massifs...
Le principe est celui de la télémétrie laser, on mesure grâce à un interféromètre de Michelson les variations de longueur d'"étalons" disposés dans des directions différentes. Plusieurs projets d'interféromètres sur terre (franco-italien VIRGO, américain LIGO...) sont lancés pour tenter de détecter des ondes gravitationnelles. Un autre projet est également en cours qui consisterait à appliquer le même principe dans l'espace au moyen de trois satellites en orbite héliocentrique: c'est le projet LISA, commun à l'Agence Spatiale Européenne et à la NASA.

LISA

LISA

Les ondes gravitationnelles émises par les coalescences de binaires d'étoiles à neutrons peuvent être décrites en première approximation comme des chirps dont le modèle est
A(t0-t)acos(16pi F(t0-t)b+1\5)
 avec a=-1\4 et b=-3\8 et t0 l'instant de coalescence, A et F des constantes dépendant de la binaire.
Ce signal diverge en t0, limite dans laquelle l'approximation par laquelle il a été obtenu n'a plus de sens.
Parmi d'autres méthodes du type temps-fréquence, l'analyse par ondelettes a été proposée pour la détection des signaux d'ondes gravitationnelles. L'algorithme dit de "Marseille" a permis de caractériser le comportement de la transformée en ondelettes d'un signal chirp.



Les chirps en mathématiques
Mais l'approche ondelettes a d'autre part conduit à développer en mathématiques un autre point de vue sur les chirps, celui de la régularité locale des fonctions.
En effet les fonctions chirps (au sens précédent) avec A(t)=|t-t0|a et g(t)=1\(|t-t0|)b, a>0 et b>0 sont des modèles de singularité oscillante en un point (remarquons que les ondes gravitationnelles s'écriraient de cette façon avec a<0, b>0).
Comme on le voit facilement, le caractère oscillant de la singularité n'est pas du tout pris en compte par un critère classique de mesure de la régularité ponctuelle, l'exposant de Hölder ponctuel.


chirp

avec t>0, t0=0, a=1.5, b=2
Exposant de Hölder ponctuel
En effet si on examine la régularité en t0 de f:t-> |t-t0|acos(1\(|t-t0|)b, on observe que son exposant de Hölder ponctuel en t0 est a, c'est à dire le même exposant en t0 que celui de la fonction h:t-> |t-t0|a.
Autrement dit le seul exposant de Hölder ponctuel ne permet pas de caractériser le caractère oscillant de la singularité en t0.

Examinons maintenant le comportement en t0 des primitives de h et de f.
L'exposant de Hölder en t0 de la primitive de h nulle en t0 est a+1.
Exercice: calculez l'exposant de Hölder en t0 de la primitive de f nulle en t0. La réponse est là !

On voit donc que le comportement oscillant se traduit dans la régularité des primitives du chirp, qui sont plus régulières que ce qu'on attend à priori.

 Les singularités chirps du type t-> |t-t0|acos(1\(|t-t0|)b (ou singularités oscillantes) nous permettent donc d'obtenir une nouvelle classe de singularités ponctuelles (voir définition), bien distinctes de celles du type h:t-> |t-t0|a, ou autrement dit "cusps".


Analyse par ondelette des singularités oscillantes
Revenons maintenant à l'analyse par ondelettes des singularités oscillantes. On sait que l'exposant de Hölder ponctuel en un point d'une fonction peut être calculé, moyennant une régularité globale minimale de la fonction grâce aux coefficients en ondelettes de cette fonction (formule).
Et, quand on analyse grâce aux ondelettes  une fonction cusp (t-> |t-t0|a ), l'exposant de Hölder de cette fonction en t0 est donné par les coefficients qui sont au voisinage du point, dans le cône de singularité.
Par contre quand on a une singularité oscillante (et cela est une caractérisation de ces singularités), l'exposant de Hölder en t0 va être donné par les coefficients en dehors du cône de singularité.

Cette propriété est fondamentale dans toutes les études de régularité ponctuelle faites avec des ondelettes.

Applications
Les singularités oscillantes jouent un rôle crucial dans la non-validité du formalisme multifractal, et dans la compréhension de son mécanisme. Cette investigation a conduit à montrer qu'elles sont présentes presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue) dans quasi-toutes fonctions (au sens des classes de Baire) des intersections d'espaces de Sobolev (voirthèse).
En ayant mis en place ces outils, Y. Meyer a démontré entre autre que la fonction de Riemann contenait des singularités oscillantes sur un ensemble dense de points.
Les chirps (au sens mathématiques) sont ainsi une étape dans la classification des singularités ponctuelles, domaine de recherche qui a de nombreuses applications en traitement du signal, physique, chimie...
 

Pour en savoir plus

vous pouvez vous rendre sur les quelques sites suivants (liste non exhaustive !):

pour les ondes gravitationnelles et les chirps en traitement du signal
les sites des projets VIRGO, LIGO, LISA, l'équipe "Signal, systèmes et physique"  à l'ENS Lyon, la page de B.Torresani du groupe Traitement du signal  du LATP de l'Université de Provence ...

pour l'étude de la régularité ponctuelle des fonctions
l'équipe Fractales de l'INRIA, le CMP de Paris 12...

et puis faire aussi une recherche...



»Retour à la page principale


Exposant de Hölder ponctuel en x0 h(x0) d'une fonction f:

C'est la borne supérieure des h tels qu'il existe un polynôme P de degré au plus h et une constante C tels que,
pour tout x au voisinage de x0:
|f(x)-P(x)|<C|x-x0|h
»Retourner aux chirps




Chirps, approche "traitement du signal":

Nous dirons qu'un signal x est un chirp s'il est de la forme

x(t)=A(t)cos(g(t))

et si il existe une constante c "petite" devant 1 telle que

     |A'(t)|
|A(t)g'(t)|

et

|g"(t)|
|g'(t)|2

sont inférieurs à c.



»Retourner aux chirps



Chirps, approche "régularité ponctuelle":

Pour simplifier les notations nous ne donnons que la définition pour les fonctions de la variable réelle mais elle peut être étendue dans le même esprit aux fonctions de Rd dans Rd.

Soit f une fonction mesurable bornée, x0 un point de R. Nous notons hn(x0) l'exposant de Hölder en x0 de la n-ième primitive de f nulle en x0.
Nous dirons que f est un chirp en x0 si le coefficient b=limn (hn(x0)\n)-1 est strictement positif.

L'exposant b=limn (hn(x0)\n)-1 b=limn (hn(x0)\n)-1 sera appelé exposant de chirp.


Remarques:
.Les chirps au sens de la première définition avec A(t)=(t-t0)a et g(t)=1\(t-t0)b sont des chirps en t0 au sens de la deuxième définition.
.On peut montrer que la deuxième définition est équivalente au fait que la fonction f s'écrive au voisinage de x0 comme f(x)=|x-x0|ah(1\(|x-x0 |)b) avec h fonction "indéfiniment oscillante", une fonction dont toutes les primitives sont bornées (c'est à dire une généralisation de la fonction cos).

.On peut remarquer que la fonction f:x->|x-x0 |acos(1\(|x-x0 |)b)+|x-x0|a' avec a'>a n'est pas un chirp en x0  au sens de la deuxième définition.
(Exercice: vérifiez qu'à partir d'un certain rang n, la n-ième primitive de f a pour exposant de Hölder en x0 a'+n).
On introduit alors la définition d'une "singularité oscillante" qui correspond au fait qu'une intégration fractionnaire de la fonction sera plus régulière que ce qu'on attend.


»Retourner aux chirps



Réponse
a+b+1 !

»Retourner aux chirps



Ondelettes

Voir une introduction aux ondelettes très explicative pour en savoir beaucoup plus,
ou télécharger l'aide-mémoire plus formel suivant sur les ondelettes en ondes.ps ou ondes.pdf


»Retourner aux chirps