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    Analyse multifractale de fonctions

    ou "que faites vous si on vous donne à étudier un signal qui ressemble à cela ???"


signal de turbulence
signal de dissipation de la vitesse en turbulence pleinement développé (donnée INRIA)


L'approche multifractale a été initiée avec les modèles de cascades multiplicatives de B.Mandelbrot pour la dissipation de l'énergie dans le contexte de la turbulence pleinement développée.
Elle s'est développée ensuite à partir de l'étude de mesures de vitesses d'écoulement turbulent dans les années 80 .

La vitesse dans un écoulement turbulent a une structure très complexe. En particulier des comportements irréguliers qui se produisent en des endroits très "rares" au sens de la mesure de Lebesgue dans R3  ont une importance déterminante dans l'évolution du phénomène turbulent.

Ainsi une approche traitement du signal  a été développée, qui consiste à étudier la régularité du signal de vitesse v. On cherche à déterminer en x0 la loi de variation de la vitesse v, c'est à dire l'exposant de Hölder ponctuel h(x0) en x0. Et on s'intéresse pour h fixé à l'ensemble Sh des points x0 pour lesquels l'exposant h(x0) a la valeur fixée h. Ces ensembles, dans le cas de signaux comme ceux d'un signal de vitesse de turbulence, peuvent être de mesure de Lebesgue nulle.
Cependant si ils ne sont pas significatifs en terme de mesure, on peut chercher à savoir de quelle manière ils remplissent l'espace, et c'est alors leur dimension qu'on veut calculer.

Ainsi les physiciens ont cherché à calculer la dimension de Hausdorff d(h) des ensembles Sh à h fixé. Ils ont appelé la fonction h-> d(h) spectre de singularités (voir le spectre correspondant aux données précédentes). En utilisant la convention que d(h) vaut -infini si Sh est vide (ou autrement dit si h n'est l'exposant de Hölder en aucun point x0), une fonction multifractale est une fonction pour laquelle d(h) est finie pour deux h différents au moins. De nombreuses fonctions contruites par les mathématiciens sont multifractales: la fonction de Riemann, la fonction de Jordan, la fonction de Levy ...

Le calcul direct du spectre de singularités pour des signaux réels s'avère difficile à mener numériquement étant donné le nombre infini de dimensions à  calculer.  

Une formule, appelée "formalisme multifractal" a été alors mise au point par Parisi et Frisch  avec l'objectif de déterminer ce spectre.

Cette formule prise telle quelle est encore difficilement applicable sur les signaux réels.
 Aussi l'équipe d'A.Arnodo au C.R.P.P de Bordeaux a proposé des méthodes numériques stables à base d'ondelettes pour le formalisme multifractal. Ces méthodes ont entre autre permis de mettre en évidence que la vitesse d'un écoulement turbulent est bien multifractale.

Cependant le formalisme multifractal est au départ une formule heuristique, et n'est pas valide en toute généralité. Le problème de la détermination du domaine de validité de ce formalisme est le sujet de recherches de nombreux mathématiciens et physiciens, et dépasse maintenant largement le cadre de la turbulence. Ainsi, le point de vue multifractal a largement orienté la recherche sur les mesures invariantes des systèmes dynamiques, sur les processus stochastiques, mais aussi dans de nombreux autres problèmes issus de la physique où des signaux de nature fractale apparaissent. Les applications de l'analyse multifractale vont ainsi de l'étude de la  structure des nuages à l'imagerie mammographique, le trafic internet, étude des galaxies ...


Pour en savoir plus sur l'analyse multifractale, ondelettes et applications

vous pouvez vous rendre sur les quelques sites suivants:
(liste non exhaustive !)
Equipe Fractales de l'INRIA, Centre de Mathématiques de Paris 12, les équipes "Signal, systèmes et physique" et "Physique non-lineaire, hydrodynamique, turbulence" à l'ENS Lyon...

et puis faire aussi une recherche...



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Exposant de Hölder ponctuel en x0 h(x0) d'une fonction f:

C'est la borne supérieure des h tels qu'il existe un polynôme P de degré au plus h et une constante C tels que pour tout x au voisinage de x0
|f(x)-P(x)|<C|x-x0|h


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Dimension d'un ensemble:

Une courbe est à priori de dimension topologique 1, et une surface de dimension topologique 2, mais que dire d'une courbe de R2 qui a son graphe inscrit dans une surface finie, est d'une longueur
infinie, et remplit l'espace presque comme une surface ? On ne réussira pas à la recouvrir par des segments dont la longueur totale serait finie. Le recouvrement par des carrés paraît quant à lui trop grossier. La dimension va donner la taille du recouvrement optimal qu'il faudrait appliquer pour donner une juste idée de "l'étalement" de l'ensemble.

Exercice: calculez la dimension du flocon de von Koch (réponse et pour mieux comprendre) !


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Formalisme multifractal:

On évalue sur Rd la fonction de structure Sq(y) qui est l'intégrale selon x de la fonction x-> |v(x+y)-v(x)|q.
On estime la loi de décroissance de Sq quand y tend vers 0 et on la note z. Pour y tend vers 0, on a
Sq(y)~ |y|z(q).

La formule dite "formalisme multifractal" est alors la suivante

d(h)=infq(qh-z(q)+d).

On peut la motiver comme suit (mais il ne s'agit pas d'une démonstration).

On peut partitionner Rd comme réunion des ensembles Sh car chaque point de Rd a un exposant de Hölder qui lui est associé par v et un seul.
On suppose maintenant y suffisamment petit et x0 dans un Sh donné. On peut supposer que pour tout x dans la boule de centre x0 et de rayon y,  
|v(x+y)-v(x)|~ |y|h.
 
Donc l'intégrale sur B(x0,y) de x-> |v(x+y)-v(x)|q serait équivalente à |y|hq+d.
On peut recouvrir Sh par |y|-d(h) boules du type B(x0,y).
Chaque intégrale sur Sh de x-> |v(x+y)-v(x)|q serait de l'ordre de |y|hq-d(h)+d.
La contribution principale, qui donnerait la décroissance Sq(y)~ |y|z(q), est donnée par le h tel que l'exposant dans |y|hq-d(h)+d est le plus petit possible, c'est à dire infh(hq-d(h)+d). La fonction z étant concave on obtient
d(h)=infq(qh-z(q)+d).


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