Thèmes de recherche

Je collabore avec Michel Petitot dans le cadre d'un un projet PEPS sur l'utilisation de la théorie des invariants dans le problème de la classification des matériaux élastiques en mécanique des milieux continus.

Il ressort de travaux récents (*) que la méthode des transvectants utilisée au 19eme siècle par Clebsch et Gordan pour calculer les invariants et les covariants des formes binaires sous l'action de SL(2,C) se généralise à d'autres groupes classiques, en particulier le groupe orthogonal SO(3,R). On sait que les représentations irréductibles du groupe SO(3,R) sont isomorphes aux espaces tensoriels dits harmoniques i.e. des tenseurs symétriques de trace nulle. Bien que cette question ait été beaucoup étudiée en cristallographie et en mécanique, on sait très peu de choses sur la structure des algèbres d'invariants de SO(3,R), en particulier les deux questions fondamentales (comment générer une base de l'algèbre des invariants? Comment calculer décrire l'idéal de relations (sysygies) entre ces invariants ?) restent ouvertes.

Le premier et le deuxième théorème fondamental de la théorie des invariants résoud complètement ces deux questions dans le cas de l'action de SL(n,C) sur les figures formées de p points numérotés pris dans l'espace projectif P^n-1C. Chaque point est donné par n coordonnées homogènes, autrement un vecteur non nul de l'espace vectoriel V : = Cⁿ. L'algèbre des invariants est engendrée par les déterminants mineurs de la figure, lesquels déterminants sont liés par les relations, dites relations de Plücker (associées à la combinatoire des tableaux d'Young). Il s'agit d'un cas très particulier dans la théorie des représentations linéaires, celle d'une action diagonale d'un groupe G ⊂ GL(n, C) sur la somme directe V ⊕V ⊕…⊕V, i.e. la donnée de p copies du même espace vectoriel V:=Cⁿ.

H. Weyl a généralisé le premier et le deuxième théorême fondamental aux groupes classiques SO(n,R) et Sp(n,R) avec la même limitation, celui d'une action supposée diagonale. Ce résultat est tout à fait insuffisant, en particulier pour les applications en mécanique. On espère que l'utilisation des transvectants permettra de dépasser le cadre diagonal, au moins dans le cas n=3. Les expérimentations sur ordinateur sont encourageantes mais beaucoup de travail théorique reste à faire.

(*) P. J. Olver, M. Petitot, and P. Solé. Generalized transvectants and Siegel modular forms. Adv. in Appl. Math., 38(3):404-418, 2007.

L'espace de configuration des mouvements d'un corps rigide autour d'un point fixe peut être identifié avec le groupe des rotations SO(3). La trajectoire du mouvement du corps est ainsi représentée par une courbe paramétrée sur SO(3). Le tenseur d'inertie du corps rigide, introduit dans les cours de mécanique du solide, correspond à un produit scalaire sur l'algèbre de Lie du groupe. Ce dernier induit, par translation à gauche, une métrique riemannienne invariante à gauche sur le groupe SO(3). En l'absence de forces extérieures, les trajectoires du mouvement d'un corps rigide correspondent aux géodésiques de cette métrique riemannienne. Comme la métrique est invariante à gauche, l'équation des géodésiques se simplifie, si l'on utilise comme variable le vecteur instantané de rotation, c'est à dire le vecteur vitesse "translaté" à l'origine. L'intégration des géodésiques se ramène ainsi à deux quadratures successives : l'une pour obtenir le vecteur instantané de rotation et l'autre pour obtenir la rotation au temps t. L'équation décrivant l'évolution du vecteur instantané de rotation est connue sous le nom d'équation d'Euler du mouvement du corps rigide.

Cette structure est un prototype pour le traitement mathématique de nombreux autres systèmes physiques importants.

Euler est également l'auteur d'un système d'équations aux dérivées partielles décrivant le mouvement d'un fluide incompressible non visqueux (par exemple l'eau). Mais alors que l'espace de configuration d'un corps rigide exige seulement trois paramètres, la description du mouvement d'un fluide nécessite un nombre infini de paramètres. Dans ce cas, l'espace de configuration peut être identifié avec la variété de dimension infinie des difféomorphismes du domaine occupé par le fluide. Euler a obtenu un système d'équations aux dérivées partielles pour le champ des vitesses du fluide.

Il est fort probable qu'Euler lui-même ait saisi la similitude entre ces deux problèmes. Pourtant, elle ne semble pas avoir été remarquée par la communauté mathématique avant 1966, date à laquelle le mathématicien russe V.I. Arnold a précisé ce rapport en termes rigoureux. L'espace de configuration du fluide peut également être considérée comme un groupe de Lie (de dimension infinei) - à savoir le groupe de tous les difféomorphismes qui préservent le volume du domaine occupé par le fluide. Les solutions des équations d'Euler pour le champs des vitesses sont alors formellement les géodésiques d'une certaine métrique riemannienne sur ce groupe, métrique qui correspond à l'énergie cinétique de l'écoulement. L'algèbre de Lie de ce groupe est l'algèbre de Lie des champs de vecteurs à divergence nulle. Bien qu'il soit plaisant de visualiser le problème de cette façon géométrique, de nombreuses difficultés analytiques surgissent de cette formulation, dues à la dimension infinie de l'espace de configuration.

Un certain nombre d'équations issues de la physique mathématique peuvent également s'écrire sous cette forme. Parmi elles, l'équation de Korteweg-de Vries, l'équation de Burgers, l'équation de Camassa-Holm ...

Une partie de mes travaux (en collaboration avec Adrian Constantin) est consacrée à l'étude rigoureuse, dans le cadre des flots classiques, d'une famille de modèles issues de l'hydrodynamique qui ont pour espace de configuration le groupe des difféomorphismes du cercle, Diff(S¹), muni de sa structure naturelle de groupe de Lie-Fréchet. Un des points forts de notre travail a été de montrer que l'approche géométrique pouvait être menée rigoureusement du point de vue analytique.

Nous avons étudié le cas des métriques induites, par transaltions à droite, par les produits scalaires respectifs L² (équation de Burgers) et H¹ (équation de Camassa-Holm) sur l'algèbre de Lie des champs de vecteurs sur le cercle Vec(S¹). Nous avons montré que l'exponentielle riemannienne était bien un difféomorphisme local dans le cas H¹ mais qu'elle ne l'était pas dans le cas L². Ceci nous à permis, par exemple, de vérifier pour l'équation de Camassa-Holm, des résultats connus en dimension finie : deux états voisins sont toujours joints par une unique géodésique minimisante.

Afin de mieux saisir la différence structurelle entre les cas L² et H¹, nous avons étendue l'étude précédente à l'ensemble des métriques H^k sur Vec(S¹), ce qui nous a permis de comprendre pourquoi le cas L² (k=0) était dégénéré. Nous avons étudié le problème de Cauchy pour ces flots géodésiques et établi, en particulier, que l'exponentielle riemannienne était un difféomorphisme local pour tout k plus grand ou égal à 1. Ces méthodes ont été appliquées à un problème similaire sur le groupe de Virasoro, qui est l'espace de configuration de l'équation de Korteweg-de Vries. Dans ce cas cependant, l'exponentielle riemannienne se comporte bien seulemnt si k est plus grand ou égal à 2.

La donnée d'un produit scalaire sur une algèbre de Lie permet de l'identifier avec son dual. L'équation d'Euler associée peut donc être considérée indifféremment comme une équation sur l'algèbre de Lie ou sur son dual. L'avantage de l'étudier sur le dual plutôt que sur l'algèbre de Lie elle-même, est l'existence d'une stucture de Poisson canonique sur ce dual, découverte par S. Lie et qu'on nomme crochet de Lie-Poisson. L'équation d'Euler est hamiltonienne pour cette structure.

Dans certains cas, il existe une seconde structure de Poisson, compatible avec la première et pour laquelle l'équation d'Euler est également hamiltonienne. On dit alors que l'équation est bi-hamiltonienne. Une façon simple d'obtenir une seconde structure compatible avec la structure de Lie-Poisson est de choisir un 2-cocycle de l'algèbre de Lie.

Il se trouve que les équations de Korteweg-de Vries et de Camassa-Holm sont justement bi-hamiltoniennes par rapport à une seconde structure définie par un 2-cocycle.

Qu'en est-il pour les autres équations d'Euler induites par des métriques H^k ? Nous avons montré que ce n'était pas le cas si k était plus grand ou égal à 2.

Dans un article à paraître, j'ai déterminé tous les opérateurs différentiels linéaires, symétriques, à coefficients constants sur Vect(S¹) dont l'équation d'Euler associée est bi-hamiltonienne relativement à un 2-cocycle.

Mes premiers travaux ont porté sur l'étude de la complexité des orbites périodiques des homéomorphismes du plan. Comment obtenir, à partir de données sur une orbite périodique d'un homéomorphisme, des informations sur la coexistence d'autres orbites périodiques et sur la complexité de la dynamique associée.

Mes recherches ont ensuite évolué vers une étude plus systématique des propriétés morphologiques des homéomorphismes des surfaces. Je me suis intéressé notamment à la classification complète des homéomorphismes périodiques, à la caractérisation topologique des représentations conformes, aux propriétés des homéomorphismes récurrents et à la classifications des sous-groupes compacts d'homéomorphismes.

On caractérise une orbite périodique d'un homéomorphisme du disque qui préserve l'orientation par son type de tresse, c'est à dire par la classe d'isotopie de l'homéomorphisme relativement à cette orbite. Voici quelques résultats que j'ai obtenu.

J'ai établi une minoration de l'entropie topologique d'un homéomorphisme possédant une orbite périodique de type de tresse donné, à partir du rayon spectral de la représentation de Burau de cette tresse.

J'ai montré que la présence d'une orbite périodique de période 3, dont le type de tresse n'est pas périodique, entraîne l'existence d'une orbite périodique de période n pour tout entier n, généralisant un résultat antérieur de J. M. Gambaudo et C. Tresser.

J'ai donné une démonstration directe du fait que tout homéomorphisme f du plan qui préserve l'orientation et possède une orbite périodique a nécessairement un point fixe lié à cette orbite périodique.

En collaboration avec C. Bonatti, j'ai amélioré ce résultat dans le cas où f-Id est une contraction. Il existe alors un point fixe ayant un nombre d'enlacement non nul avec cette orbite périodique.

Dans deux articles datant de 1919, Kerékjártó et indépendamment Brouwer ont étudié la question de la conjugaison topologique des homéomorphisme périodiques de la sphère et du disque avec les isométries euclidiennes. Les arguments de Brouwer ont toutefois été considérés comme difficiles à suivre et la preuve de Kerékjártó semble juste esquissée. En 1934, une nouvelle démonstration plus élaborée mais toujours compliquée est présentée par Eilenberg. Avec A. Constantin, nous avons rédigé un exposé moderne et une preuve (enfin) élémentaire de la conjugaison topologique des homéomorphismes périodiques de la sphère et du disque avec les isométries euclidiennes.

Une généralisation naturelle de la notion de périodicité est celle de régularité. Un point x est régulier sous l'action d'un homéomorphisme f si la famille des itérés (positifs et négatifs) de f est équicontinue au point x; il est singulier dans le cas contraire. On définit alors le lieu singulier S(f) comme l'adhérence de l'ensemble des points singuliers. On pourra noter que S(f) est l'analogue de l'ensemble de Julia pour une fonction holomorphe. En collaboration avec C. Bonatti, nous avons établi qu'une transformation f d'une surface compacte M dont le lieu singulier est totalement discontinu laisse invariant une structure conforme sur cette surface.

La classe des homéomorphismes périodiques est strictement incluse dans la classe des homéomorphismes réguliers, elle même incluse dans une classe plus large: celle des homéomorphismes récurrents.

Un homéomorphisme f d'un espace métrique compact (X,d) est récurrent s'il possède des puissances arbitrairement proches de l'identité.

Une vieille question de Birkhoff et Kerékjártó était de savoir si un homéomorphisme récurrent, qui préserve l'orientation mais non périodique de la sphère S² était toujours conjugué à une rotation irrationnelle. La réponse, connue maintenant, est négative.

Avec M. C. Pérouème, nous avons cependant montré une propriété remarquable de ces homéomorphismes. Un homéomorphisme récurrent de la sphère S² qui préserve l'orientation et qui n'est pas l'identité possède exactement deux points fixes.

Ce résultat nous a permis de classifier complètement les homéomorphismes récurrents des surfaces de genre g plus grand que 2: ils sont tous périodiques. En particulier, un homéomorphisme d'une surface compacte de caractéristique d'Euler négative et qui possède au moins un point régulier ne peut pas être topologiquement transitif. Il ne peut donc pas non plus être ergodique pour une mesure qui charge les ouverts.

L'adhérence du groupe engendré par un homéomorphisme régulier est un groupe compact. Un problème qui prolonge naturellement la caractérisation topologique des homéomorphismes réguliers est la classification des sous-groupes compacts d'homéomorphismes des surfaces. Dans le cas du tore, ils sont tous topologiquement conjugués à des sous-groupes d'isométries. Dans le cas de la sphère S², ils sont tous topologiquement conjugués à des sous-groupes fermés de O(3).