Enseignement

Ce cours propose de présenter quelques aspects de l'utilisation des groupes de Lie en mécanique et en hydrodynamique. Il se trouve que de nombreuses équations issues de la physique mathématique sont de même nature structurelle. Ce sont les équations réduites (équations d'Arnold-Euler) du flot géodésique d'une métrique riemannienne unilatéralement invariante sur un groupe de Lie. L'objectif de ce cours est d'introduire ce point de vue géométrique à travers de nombreux exemples en dimension finie d'abord puis en dimension infinie.

• Le mouvement du solide.
• Métriques semi-invariantes sur un groupe de Lie. Équation d'Euler.
• Géodésiques. Courbures sectionnelles. Équation de Jacobi.
• Les équations du mouvement d'un fluide incompressible.
• Métriques invariantes à droite sur le groupe des difféomorphismes du cercle.
• Equations de Burgers et de Camassa-Holm.
• Le groupe et l'algèbre de Virasoro.
• Équation de Korteweg-de Vries.
• Notion d'intégrabilité. Structures bi-Hamiltoniennes. Schéma de Lenard.

« div T = 0 ; c'est la mécanique ! ». De cette expression attribuée à Einstein, Jean-Marie Souriau a élaboré une équation « universelle » : TD=0. Dans ce cours, on se propose de présenter cette approche originale et encore mal connue de géométrisation de la physique. Chemin faisant, on introduira les objets et les méthodes de géométrie différentielle et de théorie des groupes de Lie qui nous seront nécessaires.

• Rappels de géométrie différentielle et Riemanienne. Connexions affines.
• La gravitation Newtonienne comme connexion.
• Collisions de points matériels.
• Les fils de torsion. Les particules à spin.
• Les milieux continus.
• La notion de Moment.
• L' équation d'Einstein.
• Tenseurs de Killing. Lois de conservation.
• Groupes de Galilée et Poincaré.