Enseignement

Master 2 (2006-2007) : Groupes de Lie et Mécanique

Ce cours propose de présenter quelques aspects de l'utilisation des groupes de Lie en mécanique et en hydrodynamique. Il se trouve que de nombreuses équations issues de la physique mathématique sont de même nature structurelle. Ce sont les équations réduites (équations d'Arnold-Euler) du flot géodésique d'une métrique riemannienne unilatéralement invariante sur un groupe de Lie. L'objectif de ce cours est d'introduire ce point de vue géométrique à travers de nombreux exemples en dimension finie d'abord puis en dimension infinie.

Programme

Le mouvement du solide.
Métriques semi-invariantes sur un groupe de Lie. Équation d'Euler.
Géodésiques. Courbures sectionnelles. Équation de Jacobi.
Les équations du mouvement d'un fluide incompressible.
Métriques invariantes à droite sur le groupe des difféomorphismes du cercle.
Equations de Burgers et de Camassa-Holm.
Le groupe et l'algèbre de Virasoro.
Équation de Korteweg-de Vries.
Notion d'intégrabilité. Structures bi-Hamiltoniennes. Schéma de Lenard.

Notes de cours

Chapitre 1 : Le mouvement du solide [PDF] (FR) 182 Ko
Dernière mise à jour : 24 février 2007
Chapitre 2 : Groupes et algèbres de Lie [PDF] (FR) 274 Ko
Dernière mise à jour : 8 mars 2007
Chapitre 3 : Métriques invariantes sur un groupe de Lie [PDF] (FR) 284 Ko
Dernière mise à jour : 5 avril 2007
Chapitre 4 : Application à l'hydrodynamique [PDF] (FR) 240 Ko
Dernière mise à jour : 4 juin 2007
Chapitre 5 : Le groupe des difféomorphismes du cercle [PDF] (FR) 312 Ko
Dernière mise à jour : 4 juin 2007

DEA (2003-2004) : Géométrie et Physique

« div T = 0 ; c’est la mécanique ! ». De cette expression attribuée à Einstein, Jean-Marie Souriau a élaboré une équation « universelle » : TD=0. Dans ce cours, on se propose de présenter cette approche originale et encore mal connue de géométrisation de la physique. Chemin faisant, on introduira les objets et les méthodes de géométrie différentielle et de théorie des groupes de Lie qui nous seront nécessaires.

Programme

Rappels de géométrie différentielle et Riemanienne. Connexions affines.
La gravitation Newtonienne comme connexion.
Collisions de points matériels.
Les fils de torsion. Les particules à spin.
Les milieux continus.
La notion de Moment.
L' équation d'Einstein.
Tenseurs de Killing. Lois de conservation.
Groupes de Galilée et Poincaré.

Notes de cours

Chapitre 1 : Notions fondamentales de géométrie différentielle [PDF] (FR) 265 Ko
Dernière mise à jour : 23 février 2004
Chapitre 2 : Problèmes variationnels [PDF] (FR) 192 Ko
Dernière mise à jour : 11 mars 2004
Chapitre 3 : TD = 0 [PDF] (FR) 220 Ko
Dernière mise à jour : 16 mars 2004
Chapitre 4 : Relativité générale [PDF] (FR) 253 Ko
Dernière mise à jour : 1 mai 2004
Chapitre 5 : Trois solutions particulières de la Relativité Générale [PDF] (FR) 300 Ko
Dernière mise à jour : 1 juin 2004