Enseignement

Master 2 (2006-2007) : Groupes de Lie et Mécanique

Ce cours propose de présenter quelques aspects de l'utilisation des groupes de Lie en mécanique et en hydrodynamique. Il se trouve que de nombreuses équations issues de la physique mathématique sont de même nature structurelle. Ce sont les équations réduites (équations d'Arnold-Euler) du flot géodésique d'une métrique riemannienne unilatéralement invariante sur un groupe de Lie. L'objectif de ce cours est d'introduire ce point de vue géométrique à travers de nombreux exemples en dimension finie d'abord puis en dimension infinie.

Programme

  • Le mouvement du solide.
  • Métriques semi-invariantes sur un groupe de Lie. Équation d'Euler.
  • Géodésiques. Courbures sectionnelles. Équation de Jacobi.
  • Les équations du mouvement d'un fluide incompressible.
  • Métriques invariantes à droite sur le groupe des difféomorphismes du cercle.
  • Equations de Burgers et de Camassa-Holm.
  • Le groupe et l'algèbre de Virasoro.
  • Équation de Korteweg-de Vries.
  • Notion d'intégrabilité. Structures bi-Hamiltoniennes. Schéma de Lenard.

Notes de cours

  • Chapitre 1 : Le mouvement du solide   [PDF]  (FR) 182 Ko
    Dernière mise à jour :  24 février 2007
  • Chapitre 2 : Groupes et algèbres de Lie   [PDF]  (FR) 274 Ko
    Dernière mise à jour :  8 mars 2007
  • Chapitre 3 : Métriques invariantes sur un groupe de Lie   [PDF]  (FR) 284 Ko
    Dernière mise à jour :  5 avril 2007
  • Chapitre 4 : Application à l'hydrodynamique   [PDF]  (FR) 240 Ko
    Dernière mise à jour :  4 juin 2007
  • Chapitre 5 : Le groupe des difféomorphismes du cercle   [PDF]  (FR) 312 Ko
    Dernière mise à jour :  4 juin 2007

DEA (2003-2004) : Géométrie et Physique

« div T = 0 ; c’est la mécanique ! ». De cette expression attribuée à Einstein, Jean-Marie Souriau a élaboré une équation « universelle » : TD=0. Dans ce cours, on se propose de présenter cette approche originale et encore mal connue de géométrisation de la physique. Chemin faisant, on introduira les objets et les méthodes de géométrie différentielle et de théorie des groupes de Lie qui nous seront nécessaires.

Programme

  • Rappels de géométrie différentielle et Riemanienne. Connexions affines.
  • La gravitation Newtonienne comme connexion.
  • Collisions de points matériels.
  • Les fils de torsion. Les particules à spin.
  • Les milieux continus.
  • La notion de Moment.
  • L' équation d'Einstein.
  • Tenseurs de Killing. Lois de conservation.
  • Groupes de Galilée et Poincaré.

Notes de cours

  • Chapitre 1 : Notions fondamentales de géométrie différentielle   [PDF]  (FR) 265 Ko
    Dernière mise à jour :  23 février 2004
  • Chapitre 2 : Problèmes variationnels   [PDF]  (FR) 192 Ko
    Dernière mise à jour :  11 mars 2004
  • Chapitre 3 : TD = 0   [PDF]  (FR) 220 Ko
    Dernière mise à jour :  16 mars 2004
  • Chapitre 4 : Relativité générale   [PDF]  (FR) 253 Ko
    Dernière mise à jour :  1 mai 2004
  • Chapitre 5 : Trois solutions particulières de la Relativité Générale   [PDF]  (FR) 300 Ko
    Dernière mise à jour :  1 juin 2004