Licence de Sciences et Technologie
Mention Mathématiques et Informatique, 3ième année
Parcours Mathématiques
Année universitaire 2011/2012
Responsables pédagogiques
Année universitaire 2012/2013
Informations importantes
- Groupe TP 3 : pas de TP d'Analyse Numérique le 5 Avril, la séance est reportée au 12 Avril
- Tous les étudiants sont invités à envoyer un e-mail (régulièrement consulté !) à fboyer@cmi.univ-mrs.fr afin de constituer une liste de diffusion pour l'ensemble de la promotion
- Formule de calcul de la note finale d'une UE : E=note examen final, CC=note controle continu (partiel, devoirs à la maison, projets, ...)
NF = max( E , 1/3*CC + 2/3*E)
- Examens du S6 : (en construction)
- Analyse Complexe : Lundi 14 Mai de 14h à 17h
- Géométrie : Mardi 15 Mai de 9h à 12h
- Traitement du signal : Mercredi 16 Mai de 9h à 12h
- Analyse Numérique : Vendredi 18 Mai de 9h à 12h
- Probabilités et Statistique : Lundi 21 Mai de 14h à 17h
- Algèbre et théorie des nombres : Mercredi 23 Mai de 9h à 12h
- Anglais : Jeudi 24 Mai de 14h à 16h
Calendrier - Organisation des semestres
Emploi du temps et liste des groupes de TD du Semestre 6
N.B. : Cet emploi du temps est encore susceptible d'être modifié !
Modules du Semestre 5
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2 UE obligatoires
Topologie et Analyse 2- 36h cours, 72h TD - 12 Crédits ECTS Olivier Guès
Objectif : Introduire la topologie des espaces métriques et l'intégrale de Lebesgue dans Rn.
Contenu :
-
Topologie des espaces métriques: distance, boules, ouverts, fermés, topologie. Complétude, nombreux exemples. Exemple des espaces vectoriels normés, normes équivalentes, espaces de Banach, de Hilbert, théorème de Riesz. Compacité, connexité. Dans un evn, un ouvert connexe est connexe par arcs. Théorèmes de point fixe, notion de partition de l'unité, existence dans R.
- Construction du corps des nombres réels : méthode de complétion, des coupures de Dedekind. Développement décimal illimité, développement en fractions continues.
- Calcul différentiel : différentiabilité, différentielle, lien avec les dérivées partielles pour des applications de R dans R^p. Fonctions de classe C^k, interversion de l'ordre des dérivations partielles, formule de Taylor. Opérateurs différentiels classiques : gradient, divergence, rotationnel. Inégalité des accroissements finis, théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. Extrema et extrema lies (dans R^3). Théorème de Cauchy-Lipschitz, inégalités de Gronwall.
-
L'intégrale de Lebesgue dans R et R^n : construction sans théorie abstraite de la mesure. Fonctions intégrables, propriétés élémentaires de l'intégrale. Fonctions mesurables, ensembles de mesure nulle. Théorèmes de convergence (monotone et dominée), intégrales à paramètre. Inégalités de Cauchy-Schwarz, Hölder, Minkowski, Jensen. Théorème de Fubini et du changement de variables, intégration par parties dans Rn
(cas simples de Green-Riemann ou de la divergence). Méthodes numériques et mise en oeuvre sur machine. La mesure de Lebesgue.
- Espaces L^p, applications : définition des espaces L^p, théorèmes de complétude et de densité. Séries de Fourier, application à la résolution de certaines EDP classiques.
Algèbre et Géométrie - 18h cours, 36h TD - 6 Crédits ECTS Nicolas Bédaride
Objectif : donner des éléments de théorie des groupes et étudier les espaces euclidiens et les transformations remarquables dans ces espaces.
Contenu :
- Les groupes : groupe, sous-groupe, morphisme, noyau et image. Sous-groupe distingué, quotient. Action d'un groupe sur un ensemble, orbite, stabilisateur.Théorème de Lagrange. Groupe des automorphismes du groupe cyclique.
- Compléments sur les groupes: équation aux classes, application aux groupes d'isométries de figures, aux groupes de permutations. Commutateurs, abélianisation, groupes résolubles. Exemples.
- Compléments sur les espaces euclidiens et hermitiens: Isomorphisme canonique avec le dual, sommes directes orthogonales, dimension de l'orthogonal d'un sous-espace, projecteurs et symétries orthogonales. Adjoint d'un endomorphisme, matrice associée dans une base orthonormale, endomorphismes symétriques / antisymétriques. Produit vectoriel en dimension 3, expression dans une base orthogonale directe. Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 2 ou 3 : rotations, symétries, similitudes. Espaces hermitiens : sommes directes orthogonales, projecteurs orthogonaux. Adjoint d'un endomorphisme, matrice associée dans une base orthonormale. Endomorphismes hermitiens, matrices hermitiennes.
- Groupes classiques: rappels sur la réduction (réduction des endomorphismes symétriques, orthogonaux...), forme de Jordan. Etude de propriétés topologiques et géométriques simples de quelques groupes de matrices classiques (orthogonaux, spéciaux-linéaires, unitaires). Décomposition de Jordan (Gauss), d'Iwasawa (LU).
1 UE au choix parmi
Géométrie des courbes et des surfaces - 18h cours, 36h TD - 6 Crédits ECTS Asli Yaman
Objectif : introduire des notions de géométrie différentielle dans le cas des courbes et des surfaces.
Contenu :
- Courbes : courbes paramétrées dans l'espace euclidien (R^2 et R^3), reparamétrage, paramétrage par longueur d'arcs. Repère de Frenet, courbures, classification à isométrie près des courbes par leurs courbures. Exemples de courbes planes classiques. Isopérimétrie dans le plan, intégrale de chemin. Courbes spatiales classiques.
- Surfaces : surfaces paramétrées, surfaces intrinsèques, notion de sous-variété (tout est dans R^3). Plan tangent, normale, champs tangents. Première et deuxième formes fondamentales, courbures (principales, de Gauss, moyenne). Théorèma Egregium et formule de Gauss-Bonnet (éventuellement sur des cas simples). Exemples de surfaces classiques. Géodésiques des surfaces de révolution et invariant de Clairaut. Projections classiques de la cartographie, courbes remarquables sur la sphère.
Logique - 20h cours, 30h TD, 10h TP - 6 Crédits ECTS Séverine Fratani
Contenu :
Calcul propositionnel - correction, complétudes de Goedel - logique du premier ordre - incomplétudes de Goedel - clause de Horn, résolution - programmation logique
1 UE au choix parmi
Histoire et épistémologie des mathématiques - 30h cours, 30h TD - 6 Crédits ECTS Norma Short
Objectif : introduire des notions de géométrie différentielle dans le cas des courbes et des surfaces.
- une compréhension de la complexité des raisonnements et des intuitions pour créer de nouveaux concepts qui sont à l'origine d'un changement profond dans les mathématiques du XIXe siècle;
- une pratique pour analyser des textes originaux et pour exposer, de manière cohérente et persuasive, des problèmes de la découverte et de l'invention mathématique.
Contenu :
Ce cours d'initiation à l'épistémologie et à l'histoire des mathématiques est destiné à explorer certaines des étapes fondamentales du long processus conceptuel qui, de la géométrie d'Euclide, a conduit à la découverte des géométries non euclidiennes, ainsi qu'à analyser le rapport entre la notion d'espace et celle de géométrie. Le but est d'approfondir la genèse des concepts mathématiques essentiels pour la découverte des nouveaux horizons géométriques et de montrer d'une part, le caractère essentiellement fécond des erreurs ou des obstacles mathématiques et d'autre part, la double nature de la géométrie comme théorie mathématique et théorie explicative des phénomènes physiques.\par
\noindent Il s'organisera autour des thèmes suivants :
- l'émergence de la démonstration mathématique dans l'Antiquité Grecque et la constitution de la géométrie dans les Eléments d'Euclide,
- le problème de l'axiome des parallèles et les tentatives vaines de Saccheri et Legendre de le démontrer,
- la théorie des surfaces courbes de Gauss,
- la découverte des géométries nouvelles : Lobachevsky, Bolyai et Riemann,
- le problème de fondement : les modèles de Beltrami, Poincaré et Klein et l'approche axiomatique de Hilbert,
- les controverses épistémologiques qui a suscité la notion d'espace et le développement des distinctions entre l'espace sensible, espace intuitif, espace mathématique et espace physique.
Algorithmique des arbres et des graphes - 20h cours, 20h TD , 20h TP - 6 Crédits ECTS Philippe Jégou
Arbres de recherche, équilibrés, parcours en profondeur -graphes : composantes connexes, plus court chemin (algorithme de Dijkstra), tri topologique, etc ... programmation dynamique - introduction aux algorithmes "gloutons" - partages de structure (DAG,BDD).
Mécanique analytique - 20h cours, 30h TD, 12h TP - 6 Crédits ECTS Pierre Haldenwang
Fonctions de Lagrange d'un système mécanique. Dynamique complexe du solide revisitée, gyroscopes, toupies. Théorème de Lejeune-Dirichlet. Petites oscillations des systèmes, modes normaux, amortissement. Des systèmes discrets aux systèmes continus, machines à ondes. Mécanique de Hamilton, équations canoniques, équation de Hamilton-Jacobi. Mécanique variationnelle et applications (action, optique, optimisation). Grands théorèmes de la mécanique analytique.
Neurologie et imagerie - 25h cours, 25h TD, 10h TP - 6 Crédits ECTS Laurent Pézard
Anatomie du système nerveux : ontogenèse, système nerveux central et périphérique, encéphale. Physiologie du neurone : électrophysiologie (équations de Goldman-Hodgkin-Katz, Hodgin-Huxley, Fitzhugh-Nagumo, analyse qualitative des solutions), transmission synaptique. Grandes fonctions : sensations et perception, régulations somatiques, fonctions cognitives. Modélisation des réseaux neuronaux. Statistique des décharges neuronales. Techniques d'imagerie: optique, scintigraphique, résonnance magnétique, électro-magnétique. Porblèmes inverses. Analyse statistique des données d'imagerie.
IUFM (Uniquement pour les étudiants U3) - 26h cours, 50h TD, 50h de stages - 6 Crédits ECTS ???
Cette UE est composée de trois modules :
- PE501 : Didactique de l'enseignement primaire 1 : Vers l'épreuve professionnelle.
Préparation du stage : approche de l'école primaire et du métier d'enseignant.
Retour sur le stage d'observation : analyse de situatsion d'enseignement et de gestion de classe.
Entraînement à la prise de parole.
- PE503 : Mathématiques et Français :
- Mathématiques : Reprise des concepts de mathématiques de l'enseignement primaire et secondaire. Aspect épistémologique et didactique de l'enseignement des mathématiques dans le premier et le second degré.
Acquisition des outils méthodologiques nécessaires pour aborder des épreuves construites autour de QCM.
- Français : Acquisition des outils méthodologiques nécessaires pour l'acquisition de la connaissance du fonctionnement du français et de la pratique efficace de l'expression : capacité de compréhension, aptitude à composer et à rédiger, maîtrise de la langue française.
Entraînement à la synthèse de documents et aux épreuves construites autour d'un QCM. Eléments de linguistique : les fonctions de communication. Perception des faits littéraires et discursifs, outils d'analyse de fonctionnement des textes. Phonétique et orthographe. Grammaire et linguistique textuelle.
UE libre - 6 Crédits ECTS
L'UE libre peut être une UE d'une autre licence, ou d'un autre parcours, ou d'un Master 1. Le choix d'une UE libre doit bien sûr faire l'objet d'un accord avec les responsables pédagogiques. La compatibilité des emplois du temps ne peut pas être garantie pour une telle UE.
Module obligatoire pour les étudiants de U3, comptant pour l'UE 4 (sauf option IUFM)
Anglais - 15h TD Marie Barthélémy
- Objectifs : Maîtriser les capacités de communication nécessaires tant à une entrée en Master qu'à une pratique professionnelle de la langue anglaise.
- Contenu : l'étudiant est capable de s'exprimer oralement pendant 3 minutes en continu sur un sujet scientifique ou d'actualité, en utilisant des structures complexes (expression d'une opinion). Il est également capable de comprendre et rendre compte par écrit d'un article scientifique, et d'exprimer son point de vue sur celui-ci de façon structurée et en utilisant des énoncés complexes (300-400 mots).
Modules du Semestre 6
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4 UE obligatoires
Analyse complexe - 18h cours, 36h TD- 6 Crédits ECTS Hassan Youssfi
Objectifs : présenter la théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une variable complexe.
Contenu :
- Fonctions d'une variable complexe : dérivabilité complexe, différentielle C-linéaire, Cauchy-Riemann, conformalité. Propriétés algébriques élémentaires. Inversion locale. Fonctions analytiques. Fonctions usuelles, racines, logarithmes.\
- Chemins : intégration de $1$-formes différentielles sur des chemins de classe $C^1$ par morceaux, propriétés, formule de Green-Riemann.
Formules de Cauchy : première et deuxième formules de Cauchy, inégalité de Cauchy, applications.
- Analyticité : analyticité des fonctions holomorphes. Applications : principe du maximum, zéros isolés, application ouverte.
- Suites de fonctions holomorphes : convergence uniforme sur les compacts. Holomorphie de la limite, théorème d'Hurwitz.
- Singularités et résidus : classification des singularités, théorème des résidus. Application au calcul d'intégrales, calcul de sommes de séries.
- Complément possible : la sphère de Riemann : définitions diverses (compactifié, projection stéréographique, projective). Fonctions méromorphes, fractions rationnelles, groupe de Möbius. Dérivée sphérique, familles normales, théorème de Marty.
- Complément possible, le disque de Poincaré : lemme de Schwarz, groupe conforme, métrique invariante. Géométrie hyperbolique du disque, modèle du demi-plan.
Algèbre et théorie des nombres - 18h cours, 36h TD - 6 Crédits ECTS Asli Yaman
Objectifs : outils algébriques pour la théorie des nombres.
Contenu :
- Les anneaux : anneau intègre, idéal quotient. Idéaux premiers, maximaux, caractérisation par le quotient. Notion d'anneau principal, euclidien, exemples.
- Compléments sur les polynômes : polynômes à plusieurs indéterminées sur un anneau ou sur un corps, propriétés élémentaires, dérivation partielle. Notions élémentaires d'élimination : discriminant et résultant, déterminant de Sylvester, matrice compagnon. Relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme, algèbre des polynômes symétriques. Transformation de Tschirnhaus. Notion de nombre algébrique, adjonction de racines pour les polynômes à coefficients rationnels. Le corps C est algébriquement clos. Problèmes algorithmiques : règle de Hörner, transformée de Fourier discrète, FFT.
- Arithmétique : forme matricielle de l'algorithme d'Euclide et développement en fractions continues. Petit théorème de Fermat, calcul dans les corps finis F_p (et construction d'un corps à 4 et 8 éléments), théorème de Wilson. Fonction d'Euler, propriétés, calcul dans les cas simples, formule d'Euler pour la fonction zeta. Fonction de Möbius et formule d'inversion. Symbole de Legendre et loi de réciprocité quadratique.
- Cryptographie et cryptanalyse : notion de codage et de chiffrage. Méthodes élémentaires de chiffrage, cryptanalyse par fréquences. Cryptographie à clé privée, méthodes DES et RSA. Attaques de RSA. Implémentation sur machine.
Probabilités et statistiques 2- 18h cours, 36h TD - 6 Crédits ECTS Pierre Mathieu
Objectifs : introduire la théorie des probabilités dans le cadre de la théorie de la mesure.
Contenu :
- Notions de base : axiomatique des probabilités, le triplet (Omega, A, P)$. Fonction de répartition d'une probabilité sur R (cas discret et à densité).
- Variables aléatoires réelles : loi, espérance
- Conditionnement, indépendance : pour les événements, les variables, les tribus.
- Vecteurs aléatoires : densité d'un vecteur aléatoire, marginales, transformations. Matrice de covariance, indépendance.
- Sommes de variables aléatoires indépendantes : inégalités de Markov, application à la construction d'intervalles de confiance pour une moyenne. Lois faible et forte des grands nombres, démontrées dans le cas de variables bornées. Récurrence et transience des marches aléatoires sur Z^d.
- Vecteurs gaussiens : fonction caractéristique, indépendance dans les vecteurs gaussiens. Théorème de Cochran, énoncé du théorème de la limite centrale multi-dimensionnel.
- Statistiques gaussiennes : échantillons gaussiens, estimateurs de la moyenne et de la variance. Tests de Student et du chi_2.
Analyse numérique- 18h cours, 24h TD, 12h TP - 6 Crédits ECTS Philippe Angot
Objectifs : développer les outils de l'analyse numérique des équations différentielles.
Contenu :
- Systèmes linéaires : normes induites sur l'espace des matrices, normes matricielles. Résolution directe de systèmes linéaires : méthodes de Gauss et de Choleski. Conditionnement. Résolution itérative : méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel.
- Systèmes non-linéaires : points fixes par contraction, monotonie, théorème de Brouwer. Méthodes de Newton et de Newton-Kantorovitch.
- Optimisation : analyse mathématique de l'optimisation ; équation d'Euler, convexité et optimisation, existence, unicité d'un minimum. Algorithmes de gradients à pas fixe, optimal, variable. Algorithme du gradient conjugué. Optimisation sous contraintes d'égalités (multiplicateurs de Lagrange), d'inégalités (théorème de Kuhn-Tucker).
- Equations différentielles : rappels sur le théorème de Cauchy-Lipschitz, les inégalités de Gronwall. Méthode d'Euler explicite. Méthodes numériques à un pas. Notions de consistance, de stabilité, d'ordre et de convergence d'un schéma numérique. Méthodes implicites. Schémas de Runge-Kutta.
1 UE au choix parmi
Mathématiques discrètes- 18h cours, 36h TD - 6 Crédits ECTS Pierre Liardet
Objectifs : introduire les notions de base en théorie de graphes.
Contenu :
-
Bases de la théorie des graphes : définition, valence, descriptions variées. Graphe complet, stade, parcours et chaînes, cycles. Parcours eulériens, caractérisation des graphes eulériens.
Propriétés plus avancées : arbres, caractérisations diverses, propriété 2-Helly, dénombrement d'arbres (théorème de Cayley). Facteurs, graphes bipartites, graphes factorisables.
- Langages formels : alphabets, mots sur un alphabet, concaténation, monoïde des mots, préfixe, suffixes. Langage, étoile de Kleene, lemme d'Arden. Rudiments de combinatoire des mots.
Traitement du signal- 18h cours, 34h TD, 8h TP - 6 Crédits ECTS Clothilde Melot
Objectifs : appliquer l'analyse de Fourier en théorie du signal.
Contenu :
-
Notions de base : signaux, systèmes et leur modélisation mathématique. Exemple de problématiques en traitement du signal.
- Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel : utilisation des séries de Fourier, transformée de Fourier. Bases de Fourier locales. Bases et repères dans les espaces des signaux.
- Filtrage : utilisation de la transformée de Fourier et de la transformée de Laplace. Echantillonnage.
- Quantification uniforme, adaptative et vectorielle : approximation d'une variable aléatoire à densité par une variable aléatoire discrète. Application au codage des signaux.
Géométries- 18h cours, 36h TD - 6 Crédits ECTS Nicolas Dutertre
Objectifs : étudier la géométrie affine et euclidienne, et donner des notions de géométrie non-euclidienne.
Contenu :
-
Géométrie affine dans le plan : axiomes d'Euclide, géométrie du triangle, théorème de Thalès et autres classiques. Etude des transformations affines du plan. Faisceaux de droites.
- Géométrie affine : la structure affine, barycentres, coordonnées barycentriques, sous-espaces, transformations affines et structure du groupe affine. Hyperplans, repères, orientation.
- Géométrie euclidienne : structure d'espace affine euclidien, perpendicularité et orthogonalité, notion d'angle, produit vectoriel. Coordonnées polaires, sphériques, cylindriques, rudiments de trigonométrie sphérique. Isométries, déplacements, décomposition canonique, points fixes des isométries et classification. Etude des cercles : équation, puissance d'un point, inversion, tangentes et normales, intersections, faisceaux de cercles, théorèmes classiques. Etude des cylindres, des cônes, des sphères, rappels sur les coniques, sur les quadriques.
- Au-delà de la géométrie euclidienne : géométrie sphérique (étude des géodésiques, de quelques courbes remarquables). Initiation à la géométrie hyperbolique : le modèle du disque de Poincaré, géodésiques, métrique hyperbolique, violation du cinquième postulat d'Euclide, groupes des isométries et classification d'icelles par leurs points fixes.
IUFM (Uniquement pour les étudiants U3) - 30h TD - 6 Crédits ECTS ???
- PE602 : Didactique de l'enseignement primaire 2 : Vers l'épreuve d'admissibilité. Quelques éléments de didactique des sciences : représentations-conceptions-obstacles, transposition didactique, trames conceptuelles, niveaux de formulation.
Stage- 6 Crédits ECTS
Le choix d'un stage doit bien sûr faire l'objet d'un accord avec les responsables pédagogiques. Les étudiants intéressés doivent prendre contact AU DEBUT DU SEMESTRE avec les responables pour exposer leur projet de stage.
UE libre- 6 Crédits ECTS
L'UE libre peut être une UE d'une autre licence ou d'un autre parcours, ou d'un Master 1. Le choix d'une UE libre doit bien sûr faire l'objet d'un accord avec les responsables pédagogiques. La compatibilité des emplois du temps ne peut pas être garantie pour une telle UE.
Module obligatoire pour les étudiants de U3, comptant pour l'UE 5 (y compris option IUFM)
Anglais - 15h TD Marie Barthélémy
- Objectifs : Maîtriser les capacités de communication nécessaires tant à une entrée en Master qu'à une pratique professionnelle de la langue anglaise.
- Contenu : l'étudiant est capable de faire un exposé oral de 5 minutes en continu sur un sujet de son choix. Il est également capable de comprendre et rendre compte, de façon structurée, d'un document audio et/ou vidéo portant sur un sujet scientifique.