Quelques petits documents mathématiques

Ci-dessous se trouvent quelques petits polycopiés que j'ai rédigés sur divers sujets mathématiques précis. Les résultats contenus dans ces polys sont plus ou moins connus, pour la plupart...

Ces documents sont en mode "révision permanente"; j'entend par là qu'ils n'ont pas étés relus avec autant d'attention que mes articles et autres publications, et qu'il m'arrive régulièrement de corriger des coquilles ou de les amender lorsque j'ai l'occasion de les relire. Si vous trouvez vous-même des coquilles à leur lecture, n'hésitez pas à me le signaler.

• Inégalité de Necas et quelques applications.
  Première mise en ligne: 07/08/2007.
  Dernière mise en ligne: 07/08/2007.
  Fichier: en ps ou en pdf.
  

  Description: ce document comporte une preuve de l'inégalité de Necas qui affirme que l'on peut estimer, sur un ouvert lipschitzien, la norme L² d'une fonction à moyenne nulle par la norme H^-1 de son gradient; cette estimation a de très importantes conséquences pour l'étude de l'équation de Stokes, que j'aborde rapidement à la fin du document. Les idées employés dans la preuve de l'inégalité sont celles du document original de Necas (paru aux Presses de l'Université de Montréal), mais j'ai tenté d'en extraire les points clefs et de simplifier la présentation en ne considérant que le cas généralement le plus utile L²-H^-1 (l'article originel traitait de la situation W^k,p-W^k-1,p).

• Injections de Sobolev dans le cas critique p=N.
  Première mise en ligne: 07/08/2007 (document rédigé en 2003)
  Dernière mise en ligne: 07/08/2007.
  Fichier: en ps ou en pdf.
  

  Description: dans ce document je donne une preuve de l'estimation optimale des constantes d'injection de Sobolev dans le cas critique, i.e. les injections de W^1,N(R^N) dans tous les L^q(R^N) pour q>N; il me semble que la preuve en question est nettement plus simple et directe que celle que l'on trouve par exemple dans le livre de Adams. En guise d'application, j'ai aussi inclus l'inégalité de Trüdinger-Moser.

• Sur les fonctions de répartition et de réarrangement.
  Première mise en ligne: 08/08/2007 (document rédigé en 2003).
  Dernière mise en ligne: 08/08/2007.
  Fichier: en ps ou en pdf.
  

  Description: quelques propriétés connues des fonction de répartition et de rérrangement, et une application à la majoration d'intégrales de fonctions puissances sur des ensembles quelconques.

• Fonction maximale et lipschitziannité.
  Première mise en ligne: 08/08/2007 (document rédigé en 2003).
  Dernière mise en ligne: 08/08/2007.
  Fichier: en ps ou en pdf.
  

  Description: une petite relation entre le caractère lipschitz d'une fonction et une borne sur sa fonction maximale.

• Nonlinear elliptic equation with measures as data and mixed or Fourier boundary conditions.
  Première mise en ligne: 08/08/2007 (document rédigé en 2000).
  Dernière mise en ligne: 08/08/2007.
  Fichier: en ps ou en pdf.
  

  Description: dans leur article de 1965, Leray et Lions étudient une équation elliptique non-linéire (de type p-Laplacien) avec conditions aux bord de Dirichlet et second membre dans l'espace d'énergie associé à l'opérateur; en 1989, Boccardo et Gallouëet ont étendu cette étude au cas de seconds membres dans l'espace des mesures. Dans ce document (assez antédiluvien...), j'adapte ces études au cas de conditions au bord de type mixtes ou Fourier.