Deux caractérisations de la mesure d'équilibre d'un endomorphisme de ${\sf P}^k({\bf C})$

Jean-Yves Briend et Julien Duval

Date: Novembre 2000

John Hubbard (voir [6] ainsi que [3]) a défini, pour un endomorphisme holomorphe de ${\sf P}^k({\bf C})$, une mesure d'entropie maximale naturelle, la mesure d'équilibre, comme masse de Monge-Ampère d'une fonction de Green dynamique. John-Erik Fornæss et Nessim Sibony [3] ont montré que $\mu$ était mélangeante et reflétait la distribution des préimages des points hors d'un ensemble pluripolaire. En dimension 1, depuis les travaux de Michael Ljubich [10] et Alexandre Freire, Artur Lopès et Ricardo Mañé [4], on peut obtenir $\mu$ directement comme distribution asymptotique des préimages hors d'un ensemble exceptionnel algébrique. Elle est, dans ce cas, l'unique mesure d'entropie maximale [10,11]. Nous montrons ici que ces méthodes s'adaptent en toute dimension avec les mêmes résultats.

Plus précisément, soit $f : {\sf P}^k({\bf C})\longrightarrow{\sf P}^k({\bf C})$ un endomorphisme holomorphe de degré algébrique $d\geq 2$, donc de degré topologique $d^k$. On note, pour une mesure de probabilité $\mu$ sur ${\sf P}^k({\bf C})$, $d^{-k}f^{*}\mu$ la mesure de probabilité correspondant par dualité à la moyenne dans les fibres de $f$ pour les fonctions continues. Ainsi $\mu_{n,x}=d^{-kn}f^{n*}\delta_x$ est simplement la mesure de comptage normalisée sur $f^{-n}(x)$. L'ensemble exceptionnel $E$ de $f$ est le plus grand ensemble algébrique propre de ${\sf P}^k({\bf C})$ complètement invariant par $f$ (pour une application générique, $E$ est vide). C'est aussi son ensemble postcritique asymptotique : $E$ est le lieu des points $x$ tels que $\mu_{n,x}(C)$ ne tende pas vers 0, où $C$ est le lieu critique de $f$. La première caractérisation de $\mu$ est donc le :
Théorème 1. -- La mesure d'équilibre $\mu$ est l'unique mesure de probabilité vérifiant $d^{-k}f^*\mu=\mu$ et ne chargeant pas $E$. De plus, $\mu$ reflète la distribution des préimages des points non exceptionnels : $\mu_{n,x}\rightarrow \mu$ si et seulement si $x$ est hors de $E$.

La deuxième caractérisation de $\mu$ est entropique. Depuis Michael Gromov [5], on sait que l'entropie topologique de $f$ est $k\log d$. Par ailleurs, comme $\mu$ est de jacobien constant $d^k$, la formule de Rohlin-Parry (voir [12]) nous dit que l'entropie métrique de $\mu$ vaut $k\log d$. D'après le principe variationnel, $\mu$ est d'entropie maximale.
Théorème 2. -- La mesure d'équilibre $\mu$ est l'unique mesure d'entropie maximale de $f$.

Ce résultat a été obtenu aussi par Mattias Jonsson [7] dans le cas particulier, proche de la dimension 1, des produits semi-directs de ${\sf P}^2({\bf C})$. Nos méthodes n'empruntent pas à la théorie du pluripotentiel, mais relèvent, outre de la théorie ergodique, de la géométrie algébrique et analytique élémentaire.

Le premier résultat s'appuie sur un lemme de construction itérative de branches inverses de $f^n$ exponentiellement contractantes, définies sur des disques plats évitant les valeurs critiques d'un itéré $f^l$ fixé, à la Ljubich (voir [10]). Quant au deuxième, il utilise la stratégie générale de Ljubich [10] en dimension 1, et une version relative de l'estimée de Gromov [5] de l'entropie topologique de $f$ par la croissance du volume de son graphe itéré.

Le texte s'organise comme suit : le lemme à la Ljubich fait l'objet du premier paragraphe, tandis que le second s'intéresse à l'ensemble exceptionnel, le troisième achevant la preuve du théorème 1. Puis, après des rappels sur l'entropie topologique au quatrième paragraphe, le cinquième se consacre à l'unicité de la mesure d'entropie maximale. Enfin, un lemme de comparaison aire-diamètre pour les disques holomorphes, substitut au théorème de distorsion de Koebe en dimension supérieure, est détaillé dans l'appendice.

BIBLIOGRAPHIE

[1] J-Y. Briend, J. Duval, Exposants de Liapounoff et distribution des points périodiques d'un endomorphisme de ${\bf CP}^k$, Acta Math., 182 (1999), 143-157.
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[4] A. Freire, A. Lopes, R. Mañé, An invariant measure for rational maps, Bol. Soc. Brasil Mat., 14 (1983), 45-62.
[5] M. Gromov, On the entropy of hollomorphic maps, manuscrit, 1977.
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[10] M.Yu. Ljubich, Entropy properties of rational endomorphisms of the Riemann sphere, Ergodic Theory Dynamical Systems, 3 (1983), 351-385.
[11] R. Mañé, On the uniqueness of the maximizing measure for raional maps, Bol. Soc. Brasil Mat., 14 (1983), 27-43.
[12] W. Parry, Entropy and generators in ergodic theory, Benjamin press, 1969.