Jean-Yves Briend, LATP : UMR CNRS 6632 Université de Provence
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Exposants de Liapounoff et distribution des points périodiques d'un endomorphisme de $\CP^k$
avec Julien Duval

Acta Math., 182, p. 143-157. 1999.

Abstract:

We bound from below by $(\log d)/2$ the Lyapunov exponents of a holomorphic self map of $\CP^k$ of degree $d\geq 2$ with respect to its equilibrium measure. This enables us to prove the equidistribution of repelling periodic points with respect to this measure.

Hubbard et Papadopol ( [9]) ainsi que Fornæss et Sibony ( [6]) ont construit, pour tout endomorphisme holomorphe $f$ de degré $d\geq 2$ de $\CP^k$, une mesure de probabilité invariante naturelle $\mu$, mélangeante et d'entropie maximale $k\log d$, la mesure d'équilibre de $f$. En dimension un, cette mesure a été introduite en 1983 par Lyubich ainsi que Freire, Lopes et Mañé ( [11,8]), qui montrent qu'elle reflète la distribution des points périodiques de $f$ et qu'elle est l'unique mesure d'entropie maximale. Il en résulte par l'inégalité de Margulis-Ruelle ( [13]) une minoration par $(\log d)/2$ de l'exposant de Liapounoff de $f$ par rapport à $\mu$. Dans le cas des polynômes d'une variable, l'introduction de $\mu$ remonte à Brolin en 1965 ( [4]) qui l'identifie à la mesure d'équilibre de l'ensemble de Julia rempli. Les résultats précédents s'obtiennent alors directement par une méthode potentialiste ( par exemple l'article de Tortrat [14]).

L'objet de cet article est de répondre à des questions similaires en dimension plus grande. Notre résultat principal est le suivant :

Ainsi, comme en dimension un, la mesure $\mu$ peut être qualifiée de <<répulseur>> non uniformément hyperbolique. La stricte positivité des exposants dans le cas où le support de $\mu$ est un compact uniformément hyperbolique est due à Fornæss et Sibony ( [7]). Notons que la minoration obtenue ici est optimale, comme on peut le voir en relevant un exemple de Lattès. De plus, dès que $k\geq 2$ elle ne résulte plus de l'inégalité de Margulis-Ruelle, qui en est en fait un corollaire. La démonstration que nous allons en donner ne fait d'ailleurs pas appel à la notion d'entropie, même si la structure particulière de la mesure -c'est une masse de Monge-Ampère- met sans doute en jeu, de manière cachée, une entropie directionnelle.

Le caractère répulsif de $\mu$ entraîne l'existence de beaucoup de branches inverses locales de $f^n$ dont les images ont un diamètre exponentiellement décroissant. Son caractère mélangeant fait que ces images reviennent visiter leur domaine de définition, créant ainsi à chaque fois un point périodique répulsif par le théorème du point fixe. On peut rendre cette analyse quantitative en utilisant le fait que $\mu$ est de jacobien constant $d^k$, et l'on montre le

Pour montrer le théorème 1, on remplace $f$ par un relèvement polynomial à $\CC^{k+1}$. Il suffit alors de considérer le cas où $f$ est une application polynomiale homogène de $\CC^k$, de degré $d\geq 2$ et admettant un prolongement holomorphe à $\CP^k$. Soit $K$ l'ensemble de Julia rempli de $f$, le compact des points d'orbite bornée, et $G$ la fonction de Green pluricomplexe avec pôle à l'infini de $K$ ( le livre [10]). Comme en dimension un, $G$ a une interprétation dynamique comme taux d'échappement des orbites vers l'infini. Elle est plurisousharmonique continue et vérifie l'équation fonctionnelle $G\circ f = d.G$ ( [6]). La mesure d'équilibre de $K$, la masse de Monge-Ampère $(\ddc G)^k$ de $G$ ( [10]), est une mesure de probabilité invariante portée par le bord de $K$. Le plus petit exposant de Liapounoff $\lambda$ de $f$ relativement à $\mu$ est défini par la formule

$$\lambda = \lim_{n\tendsto +\infty} -\frac{1}{n} \int \log\Vert(D_xf^n)^{-1}\Vert \de\mu(x) \; .$$

Pour minorer $\lambda$, on commence par construire beaucoup (au sens de la mesure $\mu$) de branches inverses locales de $f^n$. La taille du plus grand disque holomorphe qu'on peut insérer dans leur image est de l'ordre de $\Vert(D_x f^n)^{-1}\Vert$. On obtient ainsi des disques holomorphes en grand nombre ( leur union est uniformément chargée par $\mu$), de taille $\exp(-n\lambda^+)$ (où $\lambda^+=\max\{\lambda,0\}$), et sur lesquels $G$ est petite de l'ordre de $d^{-n}$ par l'équation fonctionnelle $G\circ f^n = d^n.G$. En sélectionnant encore ces disques, on peut les supposer presque parallèles à une direction donnée. Pour tout polydisque de plus petit diamètre $\exp(-n\lambda^+)$ dans cette direction, le lemme de pluripotentiel ci-dessous permet d'estimer par $d^{-n}$ la masse pour $\mu$ des disques holomorphes s'y inscrivant. Comme on peut recouvrir le support de $\mu$ par $\exp(2n\lambda^+)$ tels polydisques, on en déduit que la masse totale de ces disques est de l'ordre de $d^{-n}\exp(2n\lambda^+)$. Cette expression étant uniformément minorée, on obtient bien $\lambda\geq (\log d) /2$.

Voici maintenant l'énoncé du lemme de pluripotentiel, qui peut être vu comme une version relative de l'inégalité de Chern, Levine et Nirenberg ( [1], ainsi que [6]).

La frontière de Shiloff de $\Sigma$ est le plus petit compact $\partial_{S}\Sigma \subset \Sigma$ satisfaisant le principe du maximum pour les fonctions plurisousharmoniques globales $u$ : $\max_{\Sigma} u = \max_{\partial_{S}\Sigma} u$. Ce lemme résulte du principe de comparaison ( [10]), classique en théorie du pluripotentiel. On l'applique ici à la fonction de Green $G$ et à la réunion $\Sigma$ des disques holomorphes mentionnés ci-dessus.

Signalons enfin que Bedford, Lyubich et Smillie ont montré un analogue du théorème 2 en 1993 ( [2]) pour les points périodiques selles des applications de Hénon complexes.

Ce texte s'articule de la manière suivante : dans le premier paragraphe nous justifions la réduction au cas polynomial tandis que dans le deuxième nous montrons la minoration du plus petit exposant. L'équidistribution des points périodiques fait l'objet du troisième paragraphe, un appendice étant enfin consacré à la démonstration du lemme de pluripotentiel.

Remerciements : nous tenons à remercier Nessim Sibony qui nous a initiés à la dynamique holomorphe en plusieurs variables et est à l'origine de ce travail. Cet article est une version simplifiée, au niveau des outils, de la thèse du premier auteur ( [3]) qui utilisait les premiers pas d'une théorie de Pesin pour les endomorphismes. Celle-ci sous-tend toujours certains des arguments présentés ici.