Offres de stages: 2014-2015

Dynamique de l'opérateur de différentiation

Responsable : Hélène Bommier helene.bommier@gmail.com

On considère un espace vectoriel topologique séparable E, et T un opérateur linéaire sur E L'étude de la dynamique de T revient à étudier le comportement des itérés de T^n x pour x dans E. Le but de ce stage est de comprendre les différentes notions liées à la cyclicité d'un opérateur. On pourra s'intéresser en particulier à l'opérateur de différentiation D sur des espaces de Banach de fonctions entières, et par exemple étudier l'article [DS], où Drasin et Saksman établissent une condition optimale de croissance des fonctions fréquemment hypercycliques pour D.

références:

[BG] F. Bayart, S. Grivaux, Frequently hypercyclic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006), 5083-5117.

[BM] F. Bayart, E. Matheron, Dynamics of linear operators , Cambridge Tracts in Mathematics 179 (2009)

[DS] D. Drasin, E. Saksman, optimal growth of frequently hypercyclic entire functions, Journal of Functional Analysis. 263, 11, 3674-3688

Ergodicité et représentations unitaires en courbure négative

Responsable : Christophe Pittet pittet.christophe@gmail.com

Durée du stage, date de début : second semestre 2014-2015

Résumé du sujet : comprendre un article de recherche actuel

Références : arXiv:1102.3036

Surfaces de Beauville

Responsable : Erwan Rousseau erwan.rousseau@cmi.univ-mrs.fr (stage de plus de deux mois)

Une surface de Beauville est une surface algébrique complexe qui peut être construite comme le quotient d'un produit de deux courbes par l'action convenable d'un groupe fini. Le stage débutera par l'étude de la construction originale de Beauville [B] partant du produit de la courbe de Fermat de degré 5 par elle-même. Ensuite il pourra se poursuivre par l'étude géométrique de ces objets initiée par Catanese [C]. Celle-ci fait intervenir de la géométrie algébrique complexe, de la théorie des groupes ainsi que des probabilités [G].

Références :

[B] A. Beauville, “Surfaces algébriques”, Astérisque 54, 1978.

[C] F. Catanese, “Fibred surfaces, varieties isogenous to a product and related moduli spaces”, American Journal of Math. 122 (2000), 1-44.

[G] S. Garion, “Beauville surfaces and probabilistic group theory”, prépublication octobre 2013, arxiv 1310.8587.

Surfaces de la classe VII réelles

Responsable : Andrei Teleman andrei.teleman@gmail.com

Par définition, une structure Réelle sur une variété complexe X est une involution anti-holomorphe de X, donc un automorphisme différentiable f de X tel que f2=idX et f*(J)=-J, où J∈ End(TX ) désigne la structure presque complexe associée à la structure complexe de X.

Une surface de la classe VII est une surface complexe avec kod(X)= - ∞ et b1(X)=1 (voir [2], [4]). Un exemple simple: une surface de Hopf primaire définie comme le quotient de C2∖{0} par le groupe cyclique engendré par une contraction holomorphe de C2∖{0} est une surface de la classe VII.

Beaucoup de surfaces de la classe VII admettent une structure Réelle évidente. Par exemple la surface de Hopf obtenue comme le quotient de C2∖{0} par le groupe cyclique engendré par par une contraction linéaire de la forme (u,v) ⟼ (au,bv) (où a, b sont des nombres réels avec 0<|a|<1, 0<|b|<1) admet évidemment une telle structure. Le mémoire proposé a comme buts:

1. Classifier, à isomorphisme près, les surfaces de Hopf munies d'une structure Réelle et les surfaces de Hopf éclatées munies d'une structure Réelle.

2. Etudier les fibrés holomorphes sur les surfaces de la classe VII munies d'une structure Réelle (voir [3], [4]).

3. Etudier (avec des exemples explicits) la structure réelle naturelle induite sur les espaces de modules de fibrés holomorphes sur une telle surface (facultatif, en fonction des intérêts et de la culture mathématique de l'étudiant, possible sujet de thèse de doctorat).

Bibliographie:

1. O. Forster: Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer (1981).

2. W. Barth, K. Hulek, Ch. Peters, A. Van de Ven: Compact complex surfaces, Springer (2004)

3. F. Hirzebruch: Topological Methods in Algebraic Topology, Springer (1978)

4. A. Teleman: Gauge theoretical methods in the classification of non-Kählerian surfaces, “Algebraic Topology - Old and New” (the Postnikov Memorial Volume), Banach Center Publications Vol. 85, 2009, https://www.i2m.univ-amu.fr/~teleman/documents/postnikov.pdf

Etude de flux Laplacien et le problème inverse

Responsable : Valentin A. Zagrebnov Valentin.Zagrebnov@univ-amu.fr

1. La diffusion stationnaire à travers des membranes semi-perméables donne exemple typique de transport Laplacien [1]. Les propriétés de flux Laplacien avec absorption sur un domaine compacte ne sont pas trop étudiées bien qu’ils aient les vastes applications : ça commence du problème de diffusion thermique, jusque l’imagerie médicale électrique ou d’impédance tomographique.

2. La description mathématique de flux Laplacien avec absorption est formulée comme un problème elliptique pour l’équation de Laplace avec deux conditions aux limites. La condition de Dirichlet sur la frontière extérieure et la condition de Robin sur la frontière intérieure (absorbante).

3. Problème inverse s’agit de reconstruction la frontière intérieure (absorbante) en sachant les donnes sur la frontière extérieure.

Les buts de stage :

- pour le cas deux-dimensionnelle utiliser la méthode des transformations conformes pour résoudre le problème elliptique directe ;

- utiliser la méthode de solution du problème inverse proposé dans ref.[2] ;

- faire des calcules numériques pour les cas particulières de donnés sur la frontière extérieure et pour les conditions de Robin parfaitement absorbantes.

[1] V.A. Zagrebnov, Journal of Math.Phys. (Analysis, Geometry) 4(4):551-568 (2008)

[2] I.Baydoun,V.A.Zagrebnov, Diffusion and Laplacian transport for absorbing domains, HAL-00619923, v.3 (2011); Theoretical and Mathematical Physics, 168(3): 1180–1191 (2011)

Voir aussi https://www.i2m.univ-amu.fr/Stages-160?lang=fr pour 7 Propositions de stages

Offres de stages: 2013-2014

Suites octogonales

Responsable : Pierre Arnoux pierre@pierrearnoux.fr (stage de plus de deux mois)

A la suite des travaux de Veech sur le billard triangulaire, on a été amené à s'intéresser aux suites octogonales. Ce sont les suites obtenues en identifiant les côtés opposés d'un octogone régulier, et en considérant le codage d'une trajectoire de pente constante sur la surface plate ainsi obtenue par intersection avec le bord de l'octogone (la même chose peut se faire avec n'importe quel polygone régulier.). Ce sont des suites sur 4 lettres, de complexité 3n+1.

Smillie et Ulcigrai ont donné une caractérisation combinatoire de ces suites : On dit qu'une suite est admissible si c'est le codage d'un chemin dans une certaine famille de graphe qui décrit les facteur de longueur 2 possibles pour une suite octogonale. On dit qu'une lettre de la suite est sandwichée si la lettre qui la précède est la même que celle qui la suit (c'est-à-dire que l'on a un facteur de la forme bab). On appelle suite dérivée d'une suite admissible la suite de ses lettres sandwichées, et on dit qu'une suite est dérivable si sa suite dérivée est admissible.

Le résultat de Smillie et Ulcigrai dit que, à quelques détails techniques près, une suite sur 4 lettres est codage d'une trajectoire sur l'octogone plat si et seulement si elle est indéfiniment dérivable.

Le but de ce mémoire est, d'abord de comprendre ce résultat, ensuite de comprendre comment, comme le résultat analogue pour les suites de billard carré, cet algorithme de renormalisation est associé à un algorithme de fraction continu associé qui permet de trouver la pente de la trajectoire, et d'engendrer la suite considérée par une suite de substitution.

J. Smillie, C. Ulcigrai, Geodesic flow on the Teichmüller disk of the regular octagon, cutting sequences and octagon continued fractions maps, janvier 2010

J. Smillie, C. Ulcigrai, Symbolic coding for linear trajectories in the regular octagon, mai 2009

Facteurs spéciaux et mesures ergodiques

Responsable : Pierre Arnoux pierre@pierrearnoux.fr (stage de plus de deux mois)

Thierry Monteil a étudié les systèmes de faible complexité et leurs mesures invariantes, et i a montré un résultat fort : si l'arbre des facteurs spéciaux d'un système symbolique admet une infinité de coupes de cardinal au plus K et de hauteur minimale tendant vers l'infini, alors le système admet au plus K mesures invariantes ergodiques.

Le but de ce mémoire est d'étudier cette preuve, et de voir si on peut la simplifier pour obtenir une preuve élémentaire d'un résultat plus faible, mais plus simple à énoncer précisément :

Si un système symbolique contient au maximum K cas facteurs de longueur n_i, pour une suite d'entiers n_i qui tend vers l'infini, alors ce système admet au plus K mesures ergodiques.

On pourra en particulier essayer de construire de tels systèmes ayant le nombre maximal de mesures ergodiques.

Thierry Monteil, Thèse (chapitre 5) .

Autour de l'inégalité de Moser-Trudinger

Responsable : Lorenzo Brasco lorenzo.brasco@univ-amu.fr (stage de huit semaines sans rémunération)

Soit $\Omega$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}^N$ ayant mesure finie. Il est bien connu que l'espace de Sobolev $W^{1,p}_0(\Omega)$ se plonge (de manière continue) dans $L^{p*}(\Omega)$, où $p^*=N p/(N-p)$ si $1\le p<N$ et dans l'espace des fonctions $\alpha-$holderiennes, où $\alpha=1-N/p$ si p>N. Dans le cas limite $p=N$ par contre, les fonctions de $W^{1,N}_0(\Omega)$ en général ne sont ni continues ni bornées et d'après le résultat précédent on peut seulement dire que $W^{1,N}_0(\Omega)$ se plonge dans $L^q$, pour tout $q<\infty$. En 1967 Trudinger montre qu'en effet on peut dire quelque chose de plus précis : les fonctions de $W^{1,N}_0(\Omega)$ possèdent une intégrabilité de type exponentielle. En 1971 Moser montre qu'il existe une constante dimensionnelle explicit $C_N$ telle que la quantité \[ \sup_{u\in W^{1,N}_0(\Omega)}\left\{\int_\Omega \exp\left(C_N\, u^\frac{N}{N-1}\right)\, dx\, :\, \int_\Omega |\nabla u|^N\, dx\le 1\right\} \] est finie et que si on remplace $C_N$ par une autre constante $c>C_N$ la quantité précédente devient $+\infty$. Cela donne finalement l'intégrabilité optimale pour les elements de $W^{1,N}_0(\Omega)$. La question de savoir si la borne supérieure précédente est atteinte par une fonction $u_0\in W^{1,N}_0(\Omega)$ est restée ouverte pendant plusieurs années : de manière assez surprenante, ce problème a été résolu positivement par Carleson et Chang (si $\Omega$ est une boule) et par Flucher (avec $\Omega$ un ensemble bidimensionnel quelconque). Dans ce stage on se propose de passer en revue ces résultats et d'étudier de manière détaillée la preuve de Moser, ainsi que celle de Carleson et Chang pour l'existence d'une fonction optimale dans la boule.

  Références

1) J. Moser, “A sharp form of an inequality by N. Trudinger”, Indiana Univ. Math. J. 20 (1971), 1077-1092

2) L. Carleson, A. Chang, “On the existence of an extremal function for an inequality of J. Moser”, Bull. Sci. Math. Astro. 110 (1986), 113-127

3) M. Flucher, “Extremal functions for the Moser-Trudinger inequality in 2 dimensions”, Comment Math. Helvetici 67 (1992), 471-497

Algèbres de Clifford et Spineurs

Responsable : Georges Dloussky georges.dloussky@univ-amu.fr (stage de huit semaines sans rémunération)

L’algèbre tensorielle est largement répandue en géométrie et en physique notamment en relativité. Le but du stage et du mémoire est d'étudier les fondements algébriques et de les appliquer à une théorie qui se d ́eveloppe depuis les années 2000 celle de la géom ́etrie complexe généralisée et qui englobe à la fois la géométrie complexe et la géométrie symplectique.

Références

R. Deheuvels Tenseurs et spineurs PUF 1993

M. Gualtieri Generalized complex structures arxiv:math.DG/0401221 v1 18 Jan 2004

N. Hitchin Lectures on generalized geometry arxiv:1008.0973v1 [math.DG] 5 Aug 2010

Exposants de Liapounoff des surfaces à petits carreaux

Responsables : Julien Grivaux julien.grivaux@univ-amu.fr et Pascal Hubert pascal.hubert@univ-amu.fr (stage de plus de deux mois)

Les surfaces de translation sont des surfaces de Riemann munies d'une $1$-forme holomorphe globale. On peut les voir comme des polygones à $2g$ côtés où les faces parallèles sont identifiées par translation, la $1$-forme étant induite par $\mathrm{d}z$. Le cas le plus simple est un tore complexe muni d'une $1$-forme $\omega$, qui peut être représenté par un parallélogramme passant par $0$, $\sqrt{k}$, $\sqrt{k}\, \tau$ et $\sqrt{k}\, (\tau+1)$ où $\tau$ est un point dans le demi-plan de Poincaré paramétrant le tore et $k=\frac{\textbf{i}}{\mathrm{Im}(\tau)} \int \omega \wedge \overline{\omega}$. Bien entendu, le parallélogramme n'est pas unique. Par exemple, les deux polygones ci-dessous définissent des surfaces de translation isomorphes, comme on le voit sur l'exemple ci-dessous en recollant les deux triangles par translation.

Le groupe $\mathrm{SL}(2; \mathbb{R})$ agit naturellement sur les surfaces de translation. L'action du sous-groupe des matrices $\begin{pmatrix} e^{t}& 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}$ définit un système dynamique, dont l'étude représente un domaine de recherche à part entière, appelé la dynamique de Teichmüller.

Le sous-groupe $\mathrm{SO}(2)$ agit en préservant la surface, et en multipliant la un forme par le caractère standard de $\mathrm{SO}(2)$. Il s'ensuit que l'ensemble des surfaces de Riemann dans la $\mathrm{SL}(2; \mathbb{R})$-orbite d'une surface de translation est isomorphe à $ \Gamma \backslash \mathfrak{h}$ où $\mathfrak{h}$ est le demi-plan de Poincaré et $\Gamma$ est un sous-groupe de $\mathrm{SL}(2; \mathbb{R})$, appelé groupe de Veech de la surface de translation initiale.

On s'intéresse à des surfaces très particulières, les surfaces à petits carreaux. Elles sont obtenues en recollant des carrés par translation dans le plan complexe, et sont exactement les surfaces de translation dont le groupe de Veech est un sous-groupe d'indice fini dans $\mathrm{SL}(2; \mathbb{Z})$. Elles elles présentent un intérêt car le quotient $\Gamma \backslash \mathfrak{h}$ se compactifie en une courbe algébrique après ajout d'un nombre fini de points. Ci-dessous est dessinée la surface à petits carreaux la plus célèbre : les côtés avec le même numéro sont identifiés par translation.

L'objet du mémoire sera d'étudier certaines constantes dynamiques, appelées exposants de Liapounoff, qui sont associées au système dynamique de Teichmüller sur $\Gamma \backslash \mathfrak{h}$ en suivant un article récent d'Eskin, Kontsevich et Zorich [EKZ]. Ce sujet se situe à l'interface entre les systèmes dynamiques, la géométrie algébrique et la combinatoire.

Références :

[EKZ] Alex Eskin, Maxim Kontsevich, and Anton Zorich. Lyapunov spectrum of square-tiled cyclic covers. J. Mod. Dyn., 5(2):319–353, 2011.

[FMZ] Giovanni Forni, Carlos Matheus, and Anton Zorich. Square-tiled cyclic covers. J. Mod. Dyn., 5(2):285–318, 2011.

[GH] Julien Grivaux and Pascal Hubert. Les exposants de Liapounoff du flot de Teichmüller (d'après Eskin-Kontsevich-Zorich). Séminaire Bourbaki (65) exposé 1060, 2012.

Problèmes elliptiques (partiellement) surdéterminés

Responsable : Enea Parini enea.parini@latp.univ-mrs.fr (stage de huit semaines sans rémunération)

Les problèmes surdéterminés sont des équations aux dérivées partielles où on impose à la fois une condition de Dirichlet et une condition de Neumann sur une même partie de la frontière du domaine. Ce type de problème apparait assez naturellement lorsqu'on cherche des conditions d'optimalité pour des fonctionnelles de forme. En général, un problème surdéterminé est mal posé, et donc il admet des solutions seulement sous des fortes contraintes géométriques sur le domaine. Dans ce stage on va considérer le résultat désormais classique de J. Serrin, où les deux conditions sont imposées sur la totalité du bord, et des généralisations plus récentes par I. Fragalà et F. Gazzola, où les conditions sont imposées seulement sur une partie de la frontière.

Références :

J. Serrin, “A symmetry problem in potential theory”, Arch. Rat. Mech. Anal., 43 (1971), 304-318

I. Fragalà, F. Gazzola, “Partially overdetermined elliptic boundary value problems”, J. Diff. Eq. 245 (2008), 1299-1322

Invariants birationnels via l'intŽégration motivique

Responsable : Camille Plénat camille.plenat@latp.univ-mrs.fr (stage de huit semaines sans rémunération)

Dans les annŽes 60, John Nash a introduit l'espace des arcs, courbes formelles paramŽtrŽées, passant sur le lieu singulier de variŽétéŽs (analytiques ou algŽébriques) en caractŽéristique nulle, et sur un corps algéŽbriquement clos. Il l'a introduit comme la limite inductive de l'esparce des i-jets, qui sont la donnŽée, si $X$ est de dimension $n$, de $n$ polynô™mes d'ordre au plus $i$. Il esépŽrait ainsi mieux comprendre la gŽoéméŽtrie de la variéŽtéŽ au voisinage du lieu singulier. En 1995, M.Kontsevich a introduit l'intŽégration motivique, qui mesure l'espace des arcs vivant sur toute la variŽétéŽ, et àˆ valeur dans les motifs de Grothendieck. L'intéŽgration motivique a éŽtéŽ très déŽveloppŽée par Loeser, Denef et consors ces 15 dernireès annéŽes. Parallélement ˆà cela, Mustata, Ein, Lazarsfeld et consors ont dŽéveloppéŽ des invariants birationnels, i.e. des quantitéŽs qui restent invariantes sous les morphismes birationnels (morphisme algŽébrique continue et bijectif sur un ouvert de Zariski des variéŽtéŽs).

Pour ce devoir je vous propose la lecture de “A short course on geometric motivic inteŽgration” de Manuel Blickle. Je propose d'y Žétudier en particulier la formule de l'invariant Log Canonical Threshold (lct) pour une paire de variŽtŽs lisses $(X,Y)$ où $Y \subset X$ en passant par les espaces de jets.

RŽéféŽrences :

“A short course on geometric motivic intŽgration” de Manuel Blickle.
“What is motivic measure” , Thomas Hale
“An introduction to motivic integration” Alistair Craw
“Contact loci on arct spaces”, Ein, Lazarsfeld, Mustata
“The lct of homogeneous affine hyper surfaces”, Ein, Mustata
“Inversion of adjunction for local complete intersection varieties”, Ein , Mustata
“Jet schemes, log discrepancies and inversion of adjunction”, Ein , Mustata, Yasuda

Three-Dimensional Link Theory and Invariants of Plane Curve Singularities

Responsable : Camille Plénat camille.plenat@latp.univ-mrs.fr (stage de huit semaines sans rémunération)

Dans le livre “Three-Dimensional Link Theory and Invariants of Plane Curve Singularities” , Eisenbud et Neuman se proposent d'Žétudier la topologie des singularitéŽs de courbes complexes. Quand on intersecte la courbe avec une petite sphère de dimension 3, on obtient un entrelacs “le link”, qui est un noeud quand La courbe est irrŽéductible. On a vu (verra) que la topologie de la singularitŽé est dŽéterminŽée par les paires de Puiseux qui dŽéterminent (et rŽéciproquement) l'entrelacs. On peut associer ˆà la singularitéŽ un diagramme appelŽé “splice diagramme” qui est codéŽ par les paires de Puiseux des branches. Il correspond au dŽécoupage de la variŽétŽé de dimension 3 : $S^3{\backslash} N(K)$ où $N(K)$ est un voisinage tubulaire de l'entrelacs $K$. Cette variŽétéŽ est une variéŽtéŽ graphéŽe qui se déŽcompose en variŽétéŽ fibréŽe de Seifert (fibréŽ en cercles sur un orbifold de dimension 2), par le thŽéorème de Jacob Shalen Johanson. On peut en calculer le groupe d'homolopie.

Dans ce stage, je vous propose d'Žétudier le splice diagramme d'une courbe irréŽductible, calculer les invariants (monodromie,…) et Žétudier le passage du graphe de réŽsolution au splice diagramme et rŽéciproquement.

Ce livre est très classique, sans être dŽépasséŽ. C'est une bonne introduction aux variŽétŽés graphéŽes, aux singularitéŽs algéŽbriques. Il est àˆ l'intersection de la topologie, la théŽorie des noeuds et les singularitŽés de courbes. Celles ci sont très importantes pour comprendre la dimension suivante (où tout n'est pas connu).

RŽéféŽrences :

Brierskorn-Knorer,” Plane algebraic curves”.
Eisenbud, Neuman , “Three-Dimensional Link Theory and Invariants of Plane Curve Singularities”.

Théorie des valuations

Responsable : Guillaume Rond rond@iml.univ-mrs.fr (stage de huit semaines sans rémunération)

Les valuations (ou places) ont été introduites par Dedekind et Weber pour l'étude des courbes, dans le but d'étudier les surfaces de Riemann d'un point de vue algébrique. Dans ce cadre une valuation correspond essentiellement à un point d'une courbe lisse au-dessus de la courbe considérée au départ. Un peu plus tard, Hensel a développé la théorie des valuations dans un cadre arithmétique, en particulier avce l'introduction des nombres p-adiques. Ces deux approches (géométrique vs. arithmétique) ont continué à être développées tout au long du vingtième siècle de manière plus ou moins parallèle. Depuis une quinzaine d'années, la théorie des valuations a repris une grande importance avec son développement dans l'étude de la résolution des singularités d'une variété algébrique et avec les travaux de Berkovich en géométrie analytique. Le but de ce projet est d'étudier la théorie des valuations et d'aborder quelques applications de celle-ci (en fonction des goûts de l'étudiant).

Voici quelques liens :

http://www.math.univ-toulouse.fr/~vaquie/marque/vaquie_Tirol.pdf

http://fr.arxiv.org/pdf/math.AC/0210265

Surfaces de Beauville

Responsable : Erwan Rousseau erwan.rousseau@cmi.univ-mrs.fr (stage de plus de deux mois)

Une surface de Beauville est une surface algébrique complexe qui peut être construite comme le quotient d'un produit de deux courbes par l'action convenable d'un groupe fini. Le stage débutera par l'étude de la construction originale de Beauville [B] partant du produit de la courbe de Fermat de degré 5 par elle-même. Ensuite il pourra se poursuivre par l'étude géométrique de ces objets initiée par Catanese [C]. Celle-ci fait intervenir de la géométrie algébrique complexe, de la théorie des groupes ainsi que des probabilités [G].

Références :

[B] A. Beauville, “Surfaces algébriques”, Astérisque 54, 1978.

[C] F. Catanese, “Fibred surfaces, varieties isogenous to a product and related moduli spaces”, American Journal of Math. 122 (2000), 1-44.

[G] S. Garion, “Beauville surfaces and probabilistic group theory”, prépublication octobre 2013, arxiv 1310.8587.

Applications $s$−harmoniques

Responsable : Yannick Sire sire@cmi.univ-mrs.fr (stage de plus de deux mois)

Les applications harmoniques sont un outil central en analyse géométrique. Ce sont les points critiques d'une fonctionnelle du type (dans le cas le plus simple) : $$F(u)=\int_\Omega |\nabla u| ^2$$ où $u$ est une application de $\Omega \subset \mathbb R^n$ à valeurs dans la sphère $\mathbb S^\ell$. Un point majeur de la théorie de ces applications consiste à étudier leur régularité. L'équation d'Euler-Lagrange associée est critique pour la régularité et des outils sophistiqués doivent être développés : voir les travaux de Helein, Rivière, Schoen, Uhlenbeck,etc…

On se propose dans ce sujet d'étudier les applications $s-$harmoniques, i.e. points critiques de $$F(u)=\int_\Omega |(-\Delta)^{s/2} u| ^2$$ avec $s\in (0,1)$ et $(-\Delta)^{s/2}$ le multiplicateur de Fourier de symbole $|\xi|^s$. Dans le cas $s=1/2$, ces applications ont été introduites par Da Lio et Rivière qui ont montré des résultats de régularité en dimension 1. Le cas de toute dimension a été traité dans un papier en collaboration avec Vincent Millot. On se propose de généraliser notre approche à toute puissance $s$.

Flot par courbure moyenne nonlocale

Responsable : Yannick Sire sire@cmi.univ-mrs.fr (stage de plus de deux mois)

Dans un papier récent, Caffarelli et Souganidis ont introduit un nouveau flot par courbure moyenne. Il s'agit de faire évoluer une certaine quantité (la donnée initiale) par une équation parabolique du type $$\partial_t u+(-\Delta)^s u=0 $$ avec $s\in (0,1)$ et $(-\Delta)^{s}$ le multiplicateur de Fourier de symbole $|\xi|^{2s}$. L'itération d'un schéma d'Oscher et al converge vers un flot par courbure moyenne local ou non local suivant les puissances de $s$.

Dans ce stage, on se propose d'étudier ce flot géométrique : existence, formulation faible, régularité en suivant des techniques de Brakke, Caffarelli-Wang, Tonegawa, etc….

Intégrabilité des équations de Schrödinger fractionnaires

Responsable : Yannick Sire sire@cmi.univ-mrs.fr (stage de plus de deux mois)

Des modèles dûs à Laskin ont été introduits pour comprendre des phénomènes de diffusion anormale en théorie quantique. Il s'agit de considérer des équations du type $$i\partial_t u+(-\Delta)^s u=f(u)$$ dans l'espace euclidien.

Dans des travaux assez anciens mais fondamentaux, Peter Lax a introduit la notion de paire de Lax pour étudier les propriétés d'intégrabilité de ce type d'équation avec $s=1$. On se propose dans ce stage de rechercher de telles paires pour cette équation non locale suivant les travaux de Kappeler et al. L'existence de paires de Lax a d'importantes conséquences sur la dynamique de l'équation (voir les travaux récents de Grellier et Gérard pour l'équation de Szego).

Problèmes de valeurs propres et inégalités de Faber-Krahn

Responsable : Yannick Sire sire@cmi.univ-mrs.fr (stage de plus de deux mois)

Considérons le problème aux valeurs propres suivant : soit $\Omega$ un ouvert régulier borné de $\mathbb R^n$ et $$-\Delta u =\lambda u \mbox{dans}\,\,\Omega$$ avec $u=0$ au bord. À volume fixé, l'inégalité de Faber-Krahn dit que $$\lambda_1(\Omega)\geq \lambda_1(B)$$ avec $|\Omega|=|B|$ où $B$ est la boule de même volume et l'égalité est saturée sur la boule. C'est un résultat fondamental en géométrie spectrale.

On se propose dans ce stage de généraliser ce résultat à l'opérateur suivant : $$Lu(x)=V.P. \int_{\mathbb R^n} \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{n+2s}}dy$$ où $s \in (0,1)$. Le problème à considérer est alors $$Lu=\lambda u$$ où, du fait de la nonlocalité de l'opérateur, on prescrit $u=0$ dans tout le complémentaire de $\Omega$ dans $\mathbb R^n$. Il est facile de voir que cet opérateur admet un spectre discret et on peut se demander donc l'existence d'un résultat à la Faber-Krahn.

NLS fractionnaire sur les groupes de type H

Responsable : Yannick Sire sire@cmi.univ-mrs.fr (stage de plus de deux mois)

Des modèles dûs à Laskin ont été introduits pour comprendre des phénomènes de diffusion anormale en théorie quantique. Il s'agit de considérer des équations du type $$i\partial_t u+(-\Delta)^s u=f(u)$$ dans l'espace euclidien.

Dans ce stage, on se propose d'\'etudier cette équation avec non linéarité puissance sur les groupes de type H. Ces groupes sont des “généralisations” du groupe de Heisenberg, dans les lesquels le centre du groupe est de dimension $>1$ (Heisenberg a un centre de dimension $1$).

Bahouri, Gérard et Xu ont montré qu'il n'y avait pas de dispersion sur le groupe de Heisenberg. Par contre, pour les groupes de type H, Del Hierro a montré des estimations de Strichartz pour Schrodinger. On se propose de montrer de telles estimations pour le propagateur de Schrodinger fractionnaire. Il s'agit d'utiliser des techniques d'analyse harmonique qui sont disponibles sur de tels groupes (voir mon papier avec Isabelle Gallagher).

Offres de stages: 2012-2013

Echange de polygones, pavages, renormalisation

Responsable : Nicolas Bédaride nicolas.bedaride@univ-amu.fr

Le but du stage est de lire l'article de P. Hooper “Truchet tilings and renormalization”.

Hooper décrit la dynamique d'une famille d'échanges de rectangles grâce à un procédé de renormalisation. Cette famille d'échange de rectangles est liée à un pavage apériodique du plan appelé pavage de Truchet.

Ce stage ne demande pas de pré-requis spécifiques. Les notions introduites dans le cours sur les pavages devraient s'avérer utiles.

Référence: Le papier se trouve sur la page web de l'auteur : http://wphooper.com/

Feuilletages holomorphes sur les surfaces complexes

Responsables : Georges Dloussky Georges.Dloussky@cmi.univ-mrs.fr et Erwan Rousseau erwan.rousseau@cmi.univ-mrs.fr

Ce mémoire a pour objet de se familiariser avec les feuilletages holomorphes c'est-à-dire l'étude géométrique des équations différentielles sur les variétés complexes. En particulier, on étudiera un théorème de Camacho et Sad montrant que tout champ de vecteur holomorphe défini dans un voisinage de l'origine du plan complexe admet une courbe complexe invariante passant par l'origine.

Références: Brunella M., Birational geometry of foliations. IMPA (2000)

Brunella M., Feuilletages holomorphes sur les surfaces complexes compactes Ann. Sc. ENS 30 (1997) 569-594

Camacho C., Sad P. Invariant varieties through singularities of holomorphic vector fields, Ann. Math 115 (1982) 579-595

Toma, M. A short proof of a theorem of Camacho et Sad, Enseign. math. 45 (1999), 311-316.

Surfaces de Riemann

Responsable : Julien Keller jkeller@cmi.univ-mrs.fr

Je propose d'étudier des questions de natures différentes, mais en fait complémentaires, sur les surfaces de Riemann. Ces questions sont reliées au problème d'existence de métriques à courbure scalaire constante dans le monde Kahlérien et projectif :

  • Question de nature analytique (analyse complexe) : Comportement du noyau de Bergman et de la chaleur sur une surface de Riemann compacte, puis étude du cas de CP1 privé de 3 points. Calculs explicites du comportement asymptotique.
  • Question de nature algébrique (géométrie algébrique complexe) : il est connu que les métriques “équilibrées” (qui sont des objets algébriques) convergent vers la métrique Ricci plate sur une courbe elliptique. Étude de ce fait et généralisation au genre supérieur.
  • Question de nature dynamique et algorithmique : approximation numérique des métriques à courbure scalaire constante pour des surfaces de Riemann. Amélioration des algorithmes, étude du système dynamique induit.

Toutes ces questions sont reliées à la très récente percée fondamentale de Chen-Donaldson-Sun sur le problème d'existence des métriques Kahler-Einstein sur les variétés Fano.

Prérequis conseillés : théorème d'uniformisation des surfaces de Riemann, langage de programmation type C.

Relèvement d’une forme modulaire en caractéristique zéro

Responsable : Marc-Hubert Nicole nicole@iml.univ-mrs.fr

Une forme modulaire est une fonction holomorphe définie sur le demi-plan de Poincaré, dont les coefficients de Fourier ont très souvent des propriétés arithmétiques remarquables.

Par exemple, dans les développements de Fourier des séries d’Eisenstein E(k) interviennent les nombres de Bernouilli : 1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, etc. ainsi que des fonctions arithmétiques, par exemple «la somme des diviseurs d’un nombre entier».

Quand k=p-1, à cause du théorème de von Staudt et Clausen, tous les coefficients de Fourier de la série d’Eisenstein E(p-1) sont nuls modulo p, sauf le terme constant ! C’est-à-dire pour résumer : E(p-1) = 1 modulo p.

Un résultat de Böcherer et Nagaoka nous dit que ce résultat se généralise aux formes modulaires de Siegel, où le demi-plan de Poincaré (identifié aux nombres complexes de partie imaginaire > 0) est remplacé par un plus gros «demi-espace» de Siegel indexé par un entier g appelé genre.

THM ([B.-N.]) : Il existe une forme modulaire de Siegel F(p-1) = 1 modulo p en tout genre g. Le cas g=1 est le cas de la série d’Eisenstein E(p-1) ci-haut.

N.B. La preuve du THM ci-haut n’utilise aucune géométrie.

Grâce au point de vue géométrique, il existe toutefois une théorie des formes modulaires intrinsèque à la caractéristique positive p>0. En particulier, il existe une unique forme modulaire qui soit la réduction de la série d’Eisenstein E(p-1) modulo p : c’est l’invariant de Hasse.

Récemment, j’ai (M.-H. N.) montré que cet invariant de Hasse existait dans un contexte très général. Le but de ce projet est de considérer cet invariant de Hasse généralisé dans un cas nouveau, simple et intéressant, et de vérifier s’il se relève (ou pas !) à une forme modulaire classique en caractéristique zéro, et sous quelles conditions.

Le point de départ sera de comprendre la première partie du court article [B.-N.], où la forme modulaire F(p-1), une série thêta, est construite directement par des moyens «élémentaires». Ensuite, on attaquera le problème du relèvement de l’invariant de Hasse généralisé dans une version épurée de son contexte géométrique.

Référence : [B.-N.] Böcherer S., Nagaoka S., On mod p properties of Siegel modular forms, Math. Annalen (2007), 338, pp. 421-433.

Prérequis : vu que le projet consiste à travailler avec des généralisations des formes modulaires classiques, il serait fort souhaitable d’avoir déjà un peu manipulé ces dernières. Par contre, même si un goût pour la géométrie est souhaitable et sera utile plus tard, il n’y a aucun prérequis de géométrie algébrique pour le projet lui-même.

Variétés toriques et polytopes

Responsable : Karl Oeljeklaus Karl.Oeljeklaus@cmi.univ-mrs.fr

La géométrie algébrique complexe est l’étude d’objets de nature géométrique au moyen de méthodes algébriques (c’est- à-dire au moyen d’objets “purement abstraits”, comme par exemple les anneaux). La géométrie algébrique “moderne” étudie essentiellement des objets appelés schémas qui remplacent les variétés algébriques en permettant de décrire algébriquement certaines notions.

Les variétés toriques forment une classe assez particulière de variétés algébriques, qui est à la rencontre de plusieurs champs mathématiques. Outre l’algèbre et la géométrie, on y rencontre la combinatoire, l’analyse, la topologie algébrique notamment, l’arithmétique aussi. C’est donc un exemple particulièrement représentatif de l’interconnexion entre bien des domaines mathématiques. Cette théorie est également souvent utilisée comme un cadre ‘simple’ pour l’étude de phénomènes plus complexes sur les variétés algébriques générales.

Livres :

Fulton : Introduction to toric varieties, Princeton Press. Ewald : Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry, Springer. Debarre : Introduction à la géométrie algébrique, Notes de cours. Ziegler : Lectures on Polytopes, Springer.

Théorie des valuations

Responsable : Guillaume Rond rond@iml.univ-mrs.fr

Les valuations (ou places) ont été introduites par Dedekind et Weber pour l'étude des courbes, dans le but d'étudier les surfaces de Riemann d'un point de vue algébrique. Dans ce cadre une valuation correspond essentiellement à un point d'une courbe lisse au-dessus de la courbe considérée au départ. Un peu plus tard, Hensel a développé la théorie des valuations dans un cadre arithmétique, en particulier avce l'introduction des nombres p-adiques. Ces deux approches (géométrique vs. arithmétique) ont continué à être développées tout au long du vingtième siècle de manière plus ou moins parallèle. Depuis une quinzaine d'années, la théorie des valuations a repris une grande importance avec son développement dans l'étude de la résolution des singularités d'une variété algébrique et avec les travaux de Berkovich en géométrie analytique. Le but de ce projet est d'étudier la théorie des valuations et d'aborder quelques applications de celle-ci (en fonction des goûts de l'étudiant).

Voici quelques liens :

http://www.math.univ-toulouse.fr/~vaquie/marque/vaquie_Tirol.pdf

http://fr.arxiv.org/pdf/math.AC/0210265

Variétés géométriques fibrées. Structures géométriques sur les variétés complexes généralisées

Responsable : Andrei Teleman teleman@cmi.univ-mrs.fr

Ce projet est dédié à une thématique intéressante et moderne de la géométrie différentielle, à savoir à la théorie de variétés géométriques au sens de Thurston [Th]. Il s'agit donc de la notion fondamentale intervenant dans la conjecture de Thurston de géométrisation, démontrée récemment par Cao et Zhu [CZ] en suivant le programme de Perelman. La première partie du projet va porter sur la classification des certains classes de variétés géométriques compactes qui sont obtenues comme fibrations localement triviales de fibre géométrique sur une base géométrique. Par exemple, on peut très probablement obtenir telles variétés en projectivisant un fibré vectoriel complexe muni d'une connexion de Hermite-Einstein sur une surface de Riemann. On s'attend à obtenir des familles continues de variétés géométriques fibrées avec base et fibre fixées, donc ce problème de classification conduit naturellement à des espaces de modules intéressants.

La deuxième partie du projet va établir une liaison entre la théorie de Thurston de variétés géométriques et la notion (très importante) de “structure complexe généralisée” introduite récemment de Hitchin. Le but serai de généraliser et étendre la classification - due à C. T. C. Wall - des 4-variétés géométriques compactes qui admettent une structure complexe compatible (i.e. des surfaces complexes géométriques) [W], en remplaçant la structure complexe par une structure complexe généralisée au sens de Hitchin. Autrement dit le but ici est: classifier les 4-variétés géométriques compactes qui admettent une structure complexe généralisée au sens de Hitchin compatible.

L'étude des espaces de modules de variétés géométriques fibrées, et la continuation de la deuxième partie du projet (qui est très ample) peuvent constituer le sujet d'une thèse de doctorat, si l'étudiant décide de continuer l'activité de recherche avec une thèse sur cette thématique.

Références

[BHPV] Barth, W.; Hulek, K.; Peters, Ch.; Van de Ven, A.: Compact complex surfaces, Springer, 2004.

[CZ] Cao, H.-D.; Zhu, X.-P.: A complete proof of the Poincar ́e conjecture and geometrization conjectures - Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow, Asian J. Math., International Press Vol. 10, No. 2, pp. 165-492, June 2006.

[KN1] Kobayashi, S.; Nomizu, N.: Foundations of differential geometry I, John Wiley & Sons 1963.

[KN2] Kobayashi, S.; Nomizu, N.: Foundations of differential geometry II, John Wiley & Sons 1969.

[S] P. Scott, P.: The geometry of 3-manifolds, Bull. London Math. Soc. 15, 401-487 , 1983.

[Te] Teleman, A.: Introduction la thorie de jauge, to appear in “Cours Sp ́ecialis ́es”, SMF.

[Th1] Thurston, W.: Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6, 357381, 1982.

[Th2] Thurston, W.: Hyperbolic structures on 3-manifolds. I. Deformation of acylindrical manifolds, Ann. of Math. (2) 124, no. 2, 203-246, 1986.

[Th3] Thurston, W.: Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1, Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.

[W] Wall, C. T. C.: Geometric structures on compact complex surfaces, Topology 25 (1986), 119-153.

Etude de flux Laplacien et le problème inverse

Responsable : Valentin A. Zagrebnov Valentin.Zagrebnov@univ-amu.fr

1. La diffusion stationnaire à travers des membranes semi-perméables donne exemple typique de transport Laplacien [1]. Les propriétés de flux Laplacien avec absorption sur un domaine compacte ne sont pas trop étudiées bien qu’ils aient les vastes applications : ça commence du problème de diffusion thermique, jusque l’imagerie médicale électrique ou d’impédance tomographique.

2. La description mathématique de flux Laplacien avec absorption est formulée comme un problème elliptique pour l’équation de Laplace avec deux conditions aux limites. La condition de Dirichlet sur la frontière extérieure et la condition de Robin sur la frontière intérieure (absorbante).

3. Problème inverse s’agit de reconstruction la frontière intérieure (absorbante) en sachant les donnes sur la frontière extérieure.

Les buts de stage :

- pour le cas deux-dimensionnelle utiliser la méthode des transformations conformes pour résoudre le problème elliptique directe ;

- utiliser la méthode de solution du problème inverse proposé dans ref.[2] ;

- faire des calcules numériques pour les cas particulières de donnés sur la frontière extérieure et pour les conditions de Robin parfaitement absorbantes.

[1] V.A. Zagrebnov, Journal of Math.Phys. (Analysis, Geometry) 4(4):551-568 (2008)

[2] I.Baydoun,V.A.Zagrebnov, Diffusion and Laplacian transport for absorbing domains, HAL-00619923, v.3 (2011); Theoretical and Mathematical Physics, 168(3): 1180–1191 (2011)

Offres de stages: 2011-2012

Initiation à la théorie KAM faible dans le cas dépendant du temps

Responsable : Marie-Claude Arnaud Marie-Claude.Arnaud@univ-avignon.fr

La théorie KAM faible a vu le jour à la fin des années 90, introduite par A. Fathi. Elle permet d'étudier les systèmes dynamiques qui sont décrits à l'aide d'un hamiltonien convexe en le moment. C'est un domaine extrêment actif. Le but de ce stage est de s'initier à cette théorie en lisant le preprint :

Weak solutions of the Hamilton-Jacobi equation for time periodic Lagrangians de G. Contreras, R. Iturriaga et H. Sanchez-Morgado disponible sur le site :

http://www.cimat.mx/%7Egonzalo/papers/index.html

et d'interpreter les notions introduites dans l'article sur divers exemples.

Prerequis : connaisances de bases en géométrie différentielle et en systèmes dynamiques différentiables.

Actions de groupes, laminations et pavages

Responsable : Arnaud Hilion arnaud.hilion@univ-cezanne.fr

Le but de ce stage est d'étudier l'article de Mosher “Indiscrete representations, laminations, and tilings” [4]. Mosher définit la notion d'action laminable d'un groupe sur un espace métrique (l'espace hyperbolique typiquement). Ces actions donnent lieu à des laminations, et peuvent être caractérisées en termes d'existence de pavages de l'espace. L'article s'appuie sur de nombreux exemples, et détaille en particulier l'exemple du groupe de Baumslag-Solitar BS(1,n). La construction est à la base de théorèmes de rigidité pour les groupes BS(1,n), dûs à Farb et Mosher.

Ce stage ne demande pas de pré-requis spécifiques. Il sera l'occasion de découvrir la notion de lamination (voir l'article d'Etienne Ghys [2]), et celle de pavage (voir les articles de Benoist et Labourie [1,3]). Les notions introduites dans le cours “éléments de géométrie des groupes” devraient s'avérer utiles.

[1] Benoist, Y. Pavages du plan. Pavages, 1–48, Ed. Éc. Polytech., Palaiseau, 2001. téléchargeable sur : http://www.math.polytechnique.fr/xups/vol01.html

[2] Ghys, E. Laminations par surfaces de Riemann. Dynamique et géométrie complexes (Lyon, 1997), ix, xi, 49–95, Panor. Synthèses, 8, Soc. Math. France, Paris, 1999. téléchargeable sur : http://www.umpa.ens-lyon.fr/~ghys/Publis.html

[3] Labourie, F. Pavages. Pavages, 49–75, Ed. Éc. Polytech., Palaiseau, 2001. téléchargeable sur : http://www.math.polytechnique.fr/xups/vol01.html

[4] Mosher, L. Indiscrete representations, laminations, and tilings. Geometric group theory down under (Canberra, 1996), 225–259, de Gruyter, Berlin, 1999. téléchargeable sur : http://andromeda.rutgers.edu/~mosher/

Algorithmes qui détectent les facteurs libres et applications

Responsable : Arnaud Hilion arnaud.hilion@univ-cezanne.fr

L'algorithme classiquement utilisé pour déterminer si un élément du groupe libre est primitif (c'est à dire un élément d'une base), ou plus généralement si un sous-groupe est un facteur libre, est l'algorithme de Whitehead (voir [1] par exemple).

Dans un article récent [2], Doron Puder propose un nouvel algorithme, qui repose sur des techniques élémentaires sur les coeurs de graphes (au sens de Stallings). En utilisant cet algorithme, Doron Puder donne une nouvelle caractérisation des éléments primitifs: ce sont précisément les mots qui préservent une mesure uniforme sur tout groupe fini.

Ce stage sera l'occasion d'apprendre les algorithmes de Whitehead et de Puder. On s'attardera ensuite sur les applications possibles de ces algorithmes, en particulier sur la caractérisation des mots primitifs comme mots préservant les mesures uniformes sur les groupes finis. Les notions introduites dans le cours ?éléments de géométrie des groupes? devraient s'avérer utiles.

[1] Steve Gersten. On Whitehead's algorithm. Bull. Amer. Math. Soc., vol 10, N°2 (1984), 281-284. Téléchargeable sur: http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183551577

[2] Doron Puder. Primitive Words, Free Factors and Measure Preservation. Téléchargeable sur: http://arxiv.org/abs/1104.3991

La démonstration du théorème de Szemeredi via des méthodes de théorie ergodique

Responsable : Lionel Nguyen Van Thé lionel@latp.univ-mrs.fr

Le théorème de Szemeredi (1975) est un résultat de théorie des nombres qui affirme que tout ensemble d'entiers naturels de densité strictement positive contient des progressions arithmétiques de longueur arbitrairement grande. Il existe désormais plusieurs méthodes pour obtenir ce résultat. Le but de ce projet sera d'étudier la démonstration donnée par Furstenberg (1977) via la théorie ergodique.

Prérequis : Le cours de tronc commun “Dynamique, combinatoire et ultrafiltres” est nécessaire. Le cours d'option “Théorie des nombres et combinatoire” de Thomas Stoll est recommandé.

Bibliographie :

H. Furstenberg, Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory, Princeton University Press, 1981, vii+199pp.

Thouvenot, Jean-Paul La démonstration de Furstenberg du théorème de Szemerédi sur les progressions arithmétiques. (French) Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78), Exp. No. 518, pp. 221–232, Lecture Notes in Math., 710, Springer, Berlin, 1979

Formes modulaires sur des variétés de Siegel de dimension 3

Responsable : Marc-Hubert Nicole nicole@iml.univ-mrs.fr

Ce projet permettra d’explorer le plus concrètement possible les formes modulaires de Siegel. Ces formes modulaires généralisent les formes modulaires classiques vivant sur des familles de courbes elliptiques. En remplaçant les courbes par des surfaces, on obtient les 3-variétés de Siegel mentionnées dans le titre. Celles-ci ont la vertu d’être parfois données par des modèles simples et explicites de bas degrés très classiques (e.g. V2 W + W2 X + X2 Y + Y2 Z + Z2 V = 0). Leur étude est encore un bon point de départ aujourd’hui. Le fil conducteur du projet proposé est la conjecture de Yoshida, précisée par Brumer-Kramer. Cette conjecture est une variante en dimension deux de la fameuse conjecture de Shimura-Taniyama prouvé par Andrew Wiles, et elle a pour cadre naturel le programme de Langlands. On pourra la vérifier dans des cas très particuliers.

Références :

math/0605346 Siegel Modular Forms. Gerard van der Geer. The Geometry of Siegel Modular Varieties, K. Hulek, G.W. Sankaran.

arXiv:1004.4699 Paramodular Abelian Varieties of Odd Conductor. Armand Brumer, Kenneth Kramer.

arXiv:0912.0049 Paramodular Cusp Forms. Cris Poor, David S. Yuen.

Prérequis : géométrie algébrique et algèbre commutative. Un atout: familiarité avec les formes modulaires classiques.

Je suggère à quiconque est intéressé(e) de jeter un coup d’oeil aux introductions deux premières références (disponibles facilement sur internet).

Résolutions des singularités de surfaces suivant Cossart-Jannsen-Saito

Responsable : Marc-Hubert Nicole nicole@iml.univ-mrs.fr

La résolution des singularités est un problème central en géométrie algébrique. Grosso modo, il s’agit de remplacer une variété singulière par une variété non-singulière qui soit étroitement liée à la variété de départ. Le premier objectif de ce stage est de comprendre la preuve (hautement simplifiée!) de la résolution des singularités en caractéristique zéro, originalement due à Hironoka (en suivant le chapitre 3 du livre de J. Kollar ‘Lectures on Resolution of Singularities’, dont la lecture est accessible après un premier de cours de géométrie algébrique). Ensuite, il s’agira de réfléchir à ce problème en caractéristique positive, en suivant la prépublication récente de Cossart-Jannsen-Saito qui décrit les meilleurs résultats disponible en dimension 2 (la dimension 1 étant classique et élémentaire). En particulier, on cherchera à comprendre pourquoi l’approche de Hironaka en caractéristique zéro ne fonctionne plus en caractéristique positive. Avertissement: ce projet ne débouche pas immédiatement sur un problème ouvert accessible (e.g., pour un sujet de thèse), mais c’est une question tout à fait fondamentale de la géométrie algébrique, qui n’est connue qu’en petites dimensions en caractéristique positive. C’est aussi une hypothèse de travail qu’on voit souvent apparaître.

Prérequis : géométrie algébrique et algèbre commutative.

Références :

arXiv:0905.2191 Canonical embedded and non-embedded resolution of singularities for excellent two-dimensional schemes, Cossart V., Jannsen U., Saito S.

Lectures on Resolution of Singularities, Kollar J.,

Je recommande à quiconque intéressé(e) de lire l’introduction historique contenue dans l’article de Cossart-Jannsen-Saito et de jeter un coup d’oeil au livre de J. Kollàr.

Cohomologie locale

Responsable : Guillaume Rond rond@iml.univ-mrs.fr

Dans les années soixante, Grothendieck a introduit le concept de cohomologie locale pour démontrer des résultats de type Lefschetz. Depuis cette notion a été très étudiée et développée et a des applications en géométrie algébrique, algèbre commutative, combinatoire, théorie des nombres. Le but de ce projet est d'étudier la cohomologie locale et certaines de ses applications. Ceci devrait mener l'étudiant à étudier différentes notions importantes en géométrie algébrique et algèbre commutative. Certaines applications pourront être étudiées par l'étudiant, comme par exemple : trouver le nombre minimal d'équations définissant un ensemble algébrique, étudier certaines propriétés de connexité d'un ensemble algébrique, faire le lien avec la cohomologie des faisceaux ou la cohomologie de de Rham. Cela dépendra du goût de l'etudiant.

Référence : 24 hours of local cohomology, S. Iyengar, G. Leushke, A. Leykin, C. Miller, E. Miller, A. Singh, U. Walter.

Rigidité des solutions d'une équation non locale sur les groupes de Lie

Responsable : Yannick Sire sire@cmi.univ-mrs.fr

Une conjecture de De Giorgi affirme que sous certaines conditions une équation elliptique admet des solutions un-dimensionnelles. Le but du stage est de généraliser dans le contexte des groupes de Lie un tel résultat de symétrie.

Opérateurs non locaux en géométrie conforme

Responsable : Yannick Sire sire@cmi.univ-mrs.fr

Il y a quelques années, Graham et Zworski ont introduit une famille d'opérateurs non locaux qui sont covariants par changement conforme de la métrique. Le but du stage est de se familiariser avec ces opérateurs et de comprendre les liens entre des notions de courbures qu'ils induisent et la geométrié de la variété.

Système de Walsh, somme des chiffres et la fonction de Möbius

Responsable : Thomas Stoll stoll@iml.univ-mrs.fr

L'objectif de ce stage est d'étudier un article récent de Bourgain [1] et de le mettre en relation avec l'article [3] de Mauduit et Rivat sur la répartion de la fonction somme des chiffres des nombres premiers. Un systèeme de Walsh sur l'intervalle [0,1] est une famille des fonctions wA, A ⊂ {0,1,…,λ-1}, tel que wA(x)=Πj ∈ A(1-2xj) où xj désigne le j-ième chiffre en base 2 de x. Si A={0,1,…,λ-1\} on trouve la notion de la fonction somme des chiffres de x. Le coeur du stage est l'étude de la corrélation entre la fonction de Möbius et wA. Prérequis souhaitables du stage sont les cours de L. Nguyen Van Thé (semestre 1) et T. Stoll (semestre 2), théorie élémentaire et analytique des nombres, l'analyse de Fourier et – du goût pour les estimations.

[1] Bourgain J., Möbius–Walsh correlation bounds and an estimate of Mauduit and Rivat, arXiv:1109.2784, 21 pages.

[2] Green B., On (not) computing the Möbius function using bounded depth circuits, arxiv:1103.4991, 10 pages.

[3] Mauduit C., Rivat J., Sur un problème de Gelfond : la somme des chiffres des nombres premiers, Annals of Math. 171 (2010), 1591–1646.

Problème de Goldbach effectif

Responsable : Thomas Stoll stoll@iml.univ-mrs.fr

Ce stage est une continuation naturelle du cours du deuxième semestre “Théorie des nombres et combinatoire”. Il s'agit d'étudier en détail un article de O. Ramaré (On Šnirel'man's constant, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 22 (1995), 645–706) qui a montré en 1995 que tout nombre pair peut être écrit comme une somme d'au plus 6 nombres premiers. Pour obtenir ce résultat il a utilisé la théorie des cribles en lien avec des estimations assez précises regardant la répartition des nombres premiers dans les progressions arithmétiques.

Prérequis souhaitables du stage sont les cours de L. Nguyen Van Thé (semestre 1) et T. Stoll (semestre 2), notions de la théorie analytique des nombres et – du goût pour vérifier (par ordinateur) des calculs numériques.

Dualité pour les problèmes d'optimisation bien posés

Responsable : Michel Volle Michel.Volle@univ-avignon.fr

Ce sujet classique en optimisation remonte aux travaux d'Asplund et d'Asplund- Rockafellar ([1][2]). Le thème, toujours d'actualité, est utilisé dans plusieurs travaux récents([3][4]…) Il s'agit d'obtenir des conditions pour que les suites minimisantes d'un problème d'optimisation convergent. Ces conditions s'expriment par la différentiabilité (Gâteaux ou Fréchet selon les cas) de la conjuguée de la fonction à minimiser. L'outil majeur est la dualité convexe et, plus particulièrement, la transformée de Legendre-Fenchel. Le thème est très lié à la conjecture de Klee sur les points les plus proches (ou les plus éloignés) d'un ensemble. Le sujet de mémoire consiste à présenter un ou deux résultats de [1][2] en reprenant leur démonstration à la lumière de nouveaux outils introduits depuis.

[1] E.Asplund, “Fréchet differentiability of convex function” Acta Math. 121, 31-47 (1968).

[2] E.Asplund, R.T.Rockafellar, « Gradients of convex functions », Trans.Amer.Math.Soc. 139 (1969) 443-467.

[3] J.B.Hiriart-Urruty, M.A.Lopez, and M.Volle, “The epsilon-srategy in variational analysis” Rev. Mat. Iberoam., vol 27, N°2,449-474 (2011).

[4] M.Volle, J.B.Hiriart-Urruty, « A characterization of essentially strictly convex functions in reflexive Banach spaces », Nonlinear Analysis 75 (2012) 1617-1622.

Vous pouvez aussi consulter l'offre de stages mise à disposition par la fondation mathématique J. Hadamard

Offres de stages: 2010-2011

Topologie des ensembles algébriques réels et fonctions algébriquement constructibles

Responsable : Nicolas Dutertre dutertre@cmi.univ-mrs.fr

Ce mémoire est une introduction à la topologie des ensembles algébriques réels. Le but est de montrer le théorème suivant (dû à Parusinski et Szafraniec). Soit W un ensemble algébrique réel. Les familles suivantes de fonctions sur W à valeurs entières coïncident :

1) les fonctions de la forme w → χ(Xw ) où les Xw sont les fibres d'un morphisme régulier d'ensembles algébriques f : XW,

2) les fonctions de la forme w → χ(Xw) où les Xw sont les fibres d'un morphisme régulier propre d'ensembles algébriques f : XW,

3) les sommes finies de signes de polynômes sur W.

De telles fonctions sont appelées algébriquement constructibles. Le cours d'option de David Trotman est recommandé.

Bibliographie :

Coste, Michel, Kurdyka, Krzysztof Le discriminant d'un morphisme de variétés algébriques réelles. Topology 37 (1998), no. 2, 393–399.

Nowel, Aleksandra Topological invariants of analytic sets associated with Noetherian families. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55 (2005), no. 2, 549–571.

Parusiński, Adam, Szafraniec, Zbigniew On the Euler characteristic of fibres of real polynomial maps. Singularities Symposium—Łojasiewicz 70 (Kraków, 1996; Warsaw, 1996), 175–182, Banach Center Publ., 44, Polish Acad. Sci., Warsaw, 1998.

Parusiński, Adam, Szafraniec, Zbigniew Algebraically constructible functions and signs of polynomials. Manuscripta Math. 93 (1997), no. 4, 443–456.

Surfaces de Riemann

Responsable : Julien Keller jkeller@cmi.univ-mrs.fr

Nous proposons d'étudier des questions de natures différentes, mais en fait complémentaires, sur les surfaces de Riemann. Ces questions sont reliées au problème d'existence de métriques à courbure scalaire constante dans le monde Kahlérien et projectif :

  • question de nature analytique : Comportement du noyau de Bergman et de la chaleur sur une surface de Riemann compacte, puis étude de CP1 privé de 3 points. Calculs explicites du comportement asymptotique.
  • question de nature algébrique : il est connu que les métriques équilibrées qui sont des objets algébriques, convergent vers la métrique Ricci plate sur une courbe elliptique. Étude de ce fait et généralisation au genre supérieur.
  • question de nature dynamique et algorithmique : approximation numérique des métriques à courbure scalaire constante pour des surfaces de Riemann. Amélioration des algorithmes, étude du système dynamique induit. Des connaissances en C++ ou Mathematica sont pour cette question vivement recommandées.

Prérequis : théorème d'uniformisation des surfaces de Riemann.

Distances riemanniennes sur le groupe des difféomorphismes

Responsable : Boris Kolev kolev@cmi.univ-mrs.fr

La donnée d'une métrique riemannienne sur une variété connexe de dimension finie induit une distance sur celle-ci, définie comme la borne inférieure des longueurs des chemins qui joignent deux points donnés.

En géométrie riemannienne de dimension infinie, cela n'est plus nécessairement vrai. Par exemple, pour la métrique L2 sur le groupe des difféomorphismes d'une variété compacte, cette fonction est identiquement nulle. Elle definit toutefois bien une distance, pour la métrique H1. Cette thématique a des applications dans la recherche sur la reconnaissance de formes, où il faut pouvoir définir quantitativement quand est-ce que deux formes sont proches l'une de l'autre.

Le but du stage sera de se familiariser avec ces techniques de géométrie riemannienne en dimension infinie et des questions qui tournent autour. On s'intéressera, en particulier, au groupe des difféomorphismes du cercle où les choses sont plus simples. Une question intéressante serait de déterminer la valeur critique s dans [0,1] à partir de laquelle la métrique Hs induit une distance sur le groupe des difféomorphismes.

Prérequis : notions de base en géométrie riemannienne. Le cours d'option de Nader Yeganefar est vivement recommandé.

Bibliographie:

- Michor, Peter W. & Mumford, David. Vanishing geodesic distance on spaces of submanifolds and diffeomorphisms. Doc. Math. 10 (2005), 217–245

La démonstration du théorème de Szemeredi via des méthodes de théorie ergodique

Responsable : Lionel Nguyen Van Thé lionel@latp.univ-mrs.fr

Le théorème de Szemeredi (1975) est un résultat de théorie des nombres qui affirme que tout ensemble d'entiers naturels de densité strictement positive contient des progressions arithmétiques de longueur arbitrairement grande. Il existe désormais plusieurs méthodes pour obtenir ce résultat. Le but de ce projet sera d'étudier la démonstration donnée par Furstenberg (1977) via la théorie ergodique.

Prérequis : Le cours de tronc commun “Introduction aux systèmes dynamiques et à la théorie ergodique” donné par Tomasz Miernowski est nécessaire. Le cours d'option “Théorie des nombres et combinatoire” de Thomas Stoll est recommandé.

Bibliographie : Thouvenot, Jean-Paul La démonstration de Furstenberg du théorème de Szemerédi sur les progressions arithmétiques. (French) Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78), Exp. No. 518, pp. 221–232, Lecture Notes in Math., 710, Springer, Berlin, 1979.

La démonstration du théorème de Szemeredi via des ultrafiltres, de la combinatoire et de la théorie de la mesure.

Responsable : Lionel Nguyen Van Thé lionel@latp.univ-mrs.fr

Comme mentionné lors de la présentation du projet précédent, le théorème de Szemeredi affirme que tout ensemble d'entiers naturels de densité strictement positive contient des progressions arithmétiques de longueur arbitrairement grande. Il existe désormais plusieurs méthodes pour obtenir ce résultat, et le but de ce projet sera d'étudier la démonstration récente soumise par Elek et Szegedy.

Prérequis : De bonnes bases en théorie de la mesure. Le cours d'option “Théorie des nombres et combinatoire” de Thomas Stoll est recommandé.

Bibliographie : G. Elek and B. Szegedy: Limits of Hypergraphs, Removal and Regularity Lemmas. A Non-standard Approach (article en cours de soumission).

Invariants de Hasse vectoriels

Responsable : Marc-Hubert Nicole nicole@iml.univ-mrs.fr

Attention : je serai détaché en 2011 à l’Institut Max-Planck à Bonn (Allemagne), y compris durant les mois d’avril à juin. Il faudra que le stagiaire soit très motivé et puisse travailler pour l’essentiel via téléphone et courriels.

L’invariant de Hasse classique est une forme modulaire modulo p, c’est-à-dire une fonction sur la courbe classifiant les courbes elliptiques définies sur les corps finis de caractéristique p. Elle est non-nulle sur un ouvert dense, et a des zéros (simples) sur le lieu dit supersingulier. Le lieu supersingulier joue un rôle très particulier pour la géométrie arithmétique de ces courbes (appelées communément courbes modulaires). Comment généraliser l’invariant de Hasse au-delà du cas des courbes modulaires? C’est un problème qui se pose déjà pour d’autres courbes intéressant (sans parler des variétés de plus grande dimension), car l’invariant de Hasse classique peut parfois être zéro partout. On obtient considérablement plus de souplesse en remplaçant les formes modulaires à valeurs scalaires par des formes modulaires plus générales à valeurs vectorielles. Le but de ce stage est d’explorer différentes généralisations.

Préparation : les cours de M2 les plus pertinents sont ceux de géométrie algébrique, ainsi que celui sur les surfaces de Riemann pour la théorie classique sur les nombres complexes.

N.B. Je vais donner deux exposés sur ce sujet le 2 décembre 2010 à Luminy: le premier est destiné aux doctorants et sera donc plus accessible que le second.

Condensats de Bose-Einstein

Responsable : Anne Nouri Anne.Nouri@cmi.univ-mrs.fr

Les mathématiques sont un outil permettant d'analyser les condensats de Bose-Einstein, état de certains gaz et liquides à très basse température, qui a été décrit théoriquement par Bose et Einstein au début du 20ème siècle et observé expérimentalement en 1995 seulement. Le but du stage proposé est de faire le point sur les divers modèles mathématiques utilisés, sur leurs propriétés et sur leurs limites. Il reste en effet beaucoup de sujets ouverts les concernant, en particulier la façon dont ils se forment. Le stage sera l'occasion de s'ouvrir en particulier à la théorie cinétique, partie des mathématiques appliquées initiée par Boltzmann.

Somme des chiffres et la factorisation de n!

Responsable : Thomas Stoll stoll@iml.univ-mrs.fr

Ce stage a pour thème général les propriétés de répartition de la fonction “somme des chiffres”. C'est l'occasion d'approfondir des notions de l'option “Théorie des nombres et combinatoire” (M2), notamment dans le domaine de la théorie des nombres dans ce nuances analytique, combinatoire et élémentaire. L'estimation des sommes d'exponentielles joue un rôle principal dans ce sujet. Le but de ce stage est de lire l'article de Kim [1] sur la répartition de la fonction “somme des chiffres” dans les progressions arithmétiques et son application dans la factorisation de n! (les articles [2] et [3]). Recemment, Zhai [3] a proposé sept conjectures, tous accessibles, concernant la répartition des exposants des puissances des nombres premiers dans la factorisation de n!.

Bibliographie:

[1] Kim D.-H., On the joint distribution of q-additive functions in residue classes,

    J. Number Theory 74 (1999), 307-336.

[2] Berend D., Kolesnik G., Regularity of patterns in the factorization of n!,

    J. Number Theory 124 (2007), 181-192.

[3] Zhai W., On the prime power factorization of n!,

    J. Number Theory 129 (2009), 1820-1836.

Fibrés holomorphes

Responsable : Andrei Teleman teleman@cmi.univ-mrs.fr

Ce mémoire est une continuation naturelle de l’option Master 2 ”Variétés Complexes” et constitue une bonne préparation pour une thèse de doctorat dans le domaine de la géométrie complexe.

Le but du mémoire et de familiariser le futur doctorant avec la théorie des fibrés holomorphes et des espaces de modules de fibrés holomorphes. Il s’agit de notions qui jouent un rôle fondamental dans la géométrie moderne : les développements récents dans la théorie de jauge et la topologie différentielle utilisent d’une manière essentielle ces objets mathématiques.

Le sujet est accessible aux étudiants de Master 2 qui ont suivi l’option de variétés complexes et qui sont intéressés par la géométrie. De plus, on arrive vite a étudier des exemples intéressants concrets, et à étudier la géométrie des premiers espaces de modules.

Un fibré vectoriel holomorphe est une famille holomorphe d’espaces vectoriels complexes paramétrée par une variété complexe (la base du fibré). La classification des fibrés holomorphes de base donnée (par exemple une surface de Riemann) et de type topologique donné est un problème intéressant est difficile. Les classes d’isomorphisme des fibrés holomorphes de type topologique donné E sur une base compacte B correspondent bijectivement aux points d’un espace complexe, appelé l’espace de modules associé à la paire (B, E). Le problème fondamental de la théorie des fibrés holomorphes est de comprendre la géométrie de ces espaces de modules (par exemple les propriétés locales, les invariants topologiques).

Morphismes stratifiés

Responsable : David Trotman David.Trotman@cmi.univ-mrs.fr

La notion d'ensemble stratifié a été développée par Whitney et Thom dans les années soixante pour l'étude des variétés algébriques singulières puis les ensembles semialgébriques et sousanalytiques. Thom a proposé différentes notions de morphisme stratifié f entre deux ensembles stratifiés, dont la plus simple, notée (af), est connue comme la condition de Thom. Shiota a démontré que de tels morphismes stratifiés semialgébriques sont triangulables. Plusieurs auteurs, dont Thom, Henry et Merle, et Nakai, ont étudié une notion plus forte (bf).

Je propose une étude de ces notions et une analyse des résultats connus. Ce stage est susceptible de mèner à un sujet de thèse.

Réferences : J.P. Henry, M. Merle, Conditions de régularité et éclatements, Ann. Inst. Fourier 37 (1987), 159-190. I. Nakai, Elementary topology of stratified mappings. Singularities-Sapporo 1998, Adv. Stud. Pure Math., 29, Kinokuniya, Tokyo (2000), 221-243. M. Shiota, Thom's conjecture on triangulations of maps, Topology 39 (2000), 383-399. M. Shiota, Triangulations of non-proper semialgebraic Thom maps, arXiv:1006.4719 (2010). R. Thom, Ensembles et morphismes stratifiés, Bull. A.M.S. 69 (1970), 240-285.

Offres de stages: 2009-2010

Métriques équilibrées sur les surfaces de Riemann compactes

Responsable : Vincent Guedj guedj@cmi.univ-mrs.fr

En vue d'étudier numériquement les métriques a courbure scalaire constante sur une variété kählerienne compacte, Donaldson a proposé l'étude de métriques équilibrées dans un cadre général. Ce sont des métriques de nature algebro-géométrique qui approximent de façon canonique certaines solutions d'EDP non linéaires (eg métriques de Kähler-Einstein). Ce très beau programme en est encore a ses premiers balbutiements. Le but, plus modeste, du projet est d'étudier ce programme dans le contexte (linéaire) des surfaces de Riemann compactes.

Bibliographie:

  1. S. K. Donaldson, Some numerical results in complex differential geometry. Pure Appl. Math. Q. 5 (2009), no. 2, Special Issue: In honor of Friedrich Herzebruch. Part 1, 571–618.

Surfaces de Riemann

Responsable : Julien Keller jkeller@cmi.univ-mrs.fr

Nous proposons de prolonger le cours de Master 2 en étudiant des questions de natures différentes sur les surfaces de Riemann mais qui sont reliées entre elles à la notion de métriques Kahlériennes à courbure scalaire constante :

  • de nature analytique : Comportement du noyau de Bergman et de la chaleur sur une surface de Riemann compacte puis CP1 privé de 3 points. Calculs explicites du comportement asymptotique.
  • de nature algébrique : il est connu que les métriques équilibrées qui sont des objets algébriques, convergent vers la métrique Ricci plate sur une courbe elliptique. Étude de ce fait et généralisation au genre supérieur.
  • de nature dynamique et algorithmique : approximation numérique des métriques à courbure scalaire constante pour des surfaces de Riemann. Amélioration des algorithmes. Des connaissances en C++ ou Mathematica sont vivement recommandées.

Fibrés holomorphes

Responsable : Andrei Teleman teleman@cmi.univ-mrs.fr

Ce mémoire est une continuation naturelle de l’option Master 2 ”Variétés Complexes” et constitue une bonne préparation pour une thèse de doctorat dans le domaine de la géométrie complexe.

Le but du mémoire et de familiariser le futur doctorant avec la théorie des fibrés holomorphes et des espaces de modules de fibrés holomorphes. Il s’agit de notions qui jouent un rôle fondamental dans la géométrie moderne : les développements récents dans la théorie de jauge et la topologie différentielle utilisent d’une manière essentielle ces objets mathématiques.

Le sujet est accessible aux étudiants de Master 2 qui ont suivi l’option de variétés complexes et qui sont intéressés par la géométrie. De plus, on arrive vite a étudier des exemples intéressants concrets, et à étudier la géométrie des premiers espaces de modules.

Un fibré vectoriel holomorphe est une famille holomorphe d’espaces vectoriels complexes paramétrée par une variété complexe (la base du fibré). La classification des fibrés holomorphes de base donnée (par exemple une surface de Riemann) et de type topologique donné est un problème intéressant est difficile. Les classes d’isomorphisme des fibrés holomorphes de type topologique donné E sur une base compacte B correspondent bijectivement aux points d’un espace complexe, appelé l’espace de modules associé à la paire (B, E). Le problème fondamental de la théorie des fibrés holomorphes est de comprendre la géométrie de ces espaces de modules (par exemple les propriétés locales, les invariants topologiques).

Offres de stages: 2008-2009

Régularisation des courants positifs

Responsable : Vincent Guedj guedj@cmi.univ-mrs.fr

On étudiera les problèmes de régularisation des courants positifs fermés sur les variétés kähleriennes, avec perte effective de positivité. Il s'agit d'une problématique qui a de nombreuses applications en géométrie kähleriennes, ainsi que dans l'étude dynamique des endomorphismes rationnels.

Bibliographie: deux articles, principalement:

  1. Demailly, Journal of Algebraic Geometry (1992).
  2. Dinh-Sibony, Annales Scientif. ENS (2004).

Introduction à la théorie des déformations de structures complexes

Responsable : Georges Dloussky Georges.Dloussky@cmi.univ-mrs.fr

Une variété différentiable compacte peut avoir beaucoup de structures holomorphes différentes. Elles peuvent être organisées en famille au dessus d'un espace de paramètres. La sphère S2 n'admet qu'une structure holomorphe, mais les tores en ont déjà beaucoup. On étudiera des exemples en dimension un et deux, tirés de la géométrie projective, de la géométrie kählerienne ou non kählerienne.

Quoique les ouvrages proposés:

  1. J. Morrow, K. Kodaira, Complex manifolds Rinehardt (1971)
  2. K. Kodaira, Complex manifolds and deformation of complex structures Springer (1981)

ne supposent presque pas de pré-requis, il est souhaitable d'avoir suivi le cours sur les variétés complexes (A. Teleman).

Actions de groupes, laminations et pavages

Responsable : Arnaud Hilion arnaud.hilion@univ-cezanne.fr

Le but de ce stage est d'étudier l'article de Mosher “Indiscrete representations, laminations, and tilings” [4]. Mosher définit la notion d'action laminable d'un groupe sur un espace métrique (l'espace hyperbolique typiquement). Ces actions donnent lieu à des laminations, et peuvent être caractérisées en termes d'existence de pavages de l'espace. L'article s'appuie sur de nombreux exemples, et détaille en particulier l'exemple du groupe de Baumslag-Solitar BS(1,n). La construction est à la base de théorèmes de rigidité pour les groupes BS(1,n), dûs à Farb et Mosher.

Ce stage ne demande pas de pré-requis spécifiques. Il sera l'occasion de découvrir la notion de lamination (voir l'article d'Etienne Ghys [2]), et celle de pavage (voir les articles de Benoist et Labourie [1,3]). Les notions introduites dans le cours “éléments de géométrie des groupes” devraient s'avérer utiles.

[1] Benoist, Y. Pavages du plan. Pavages, 1–48, Ed. Éc. Polytech., Palaiseau, 2001. téléchargeable sur: http://www.math.polytechnique.fr/xups/vol01.html

[2] Ghys, E. Laminations par surfaces de Riemann. Dynamique et géométrie complexes (Lyon, 1997), ix, xi, 49–95, Panor. Synthèses, 8, Soc. Math. France, Paris, 1999. téléchargeable sur: http://www.umpa.ens-lyon.fr/~ghys/Publis.html

[3] Labourie, F. Pavages. Pavages, 49–75, Ed. Éc. Polytech., Palaiseau, 2001. téléchargeable sur: http://www.math.polytechnique.fr/xups/vol01.html

[4] Mosher, L. Indiscrete representations, laminations, and tilings. Geometric group theory down under (Canberra, 1996), 225–259, de Gruyter, Berlin, 1999. téléchargeable sur: http://andromeda.rutgers.edu/~mosher/

Fibrés holomorphes

Responsable : Andrei Teleman teleman@cmi.univ-mrs.fr

Ce mémoire est une continuation naturelle de l’option Master 2 ”Variétés Complexes” et constitue une bonne préparation pour une thèse de doctorat dans le domaine de la géométrie complexe.

Le but du mémoire et de familiariser le futur doctorant avec la théorie des fibrés holomorphes et des espaces de modules de fibrés holomorphes. Il s’agit de notions qui jouent un rôle fondamental dans la géométrie moderne : les développements récents dans la théorie de jauge et la topologie différentielle utilisent d’une manière essentielle ces objets mathématiques.

Le sujet est accessible aux étudiants de Master 2 qui ont suivi l’option de variétés complexes et qui sont intéressés par la géométrie. De plus, on arrive vite a étudier des exemples intéressants concrets, et à étudier la géométrie des premiers espaces de modules.

Un fibré vectoriel holomorphe est une famille holomorphe d’espaces vectoriels complexes paramétrée par une variété complexe (la base du fibré). La classification des fibrés holomorphes de base donnée (par exemple une surface de Riemann) et de type topologique donné est un problème intéressant est difficile. Les classes d’isomorphisme des fibrés holomorphes de type topologique donné E sur une base compacte B correspondent bijectivement aux points d’un espace complexe, appelé l’espace de modules associé à la paire (B, E). Le problème fondamental de la théorie des fibrés holomorphes est de comprendre la géométrie de ces espaces de modules (par exemple les propriétés locales, les invariants topologiques).

Vision artificielle et les catastrophes élémentaires de Thom

Responsable : David Trotman David.Trotman@cmi.univ-mrs.fr

Je propose l'étude de travaux récents de Damon, Florack et Kuijper utilisant et adaptant la théorie des singularités des fonctions différentiables réelles pour l'analyse des images obtenues par ordinateur. Florack et Kuijper ont exhibé les différentes catastrophes élémentaires de Thom dans ce contexte. La notion de “scale-space” développée par des spécialistes de la vision artificielle depuis 20 ans commence à être étudiée par des mathématiciens et permet l'élaboration d'une théorie cohérente.

Références :

  1. A. Kuijper , L. Florack, “Using Catastrophe Theory to Derive trees from Images”, Journal of Mathematical Imaging and Vision 23 (2005), 219-238.
  2. R. Duits, L. Florack, J. de Graaf, B. ter Haar Romeny, On the axioms of scale space theory. J. Math. Imaging Vision 20 (2004), no. 3, 267–298.
  3. J. Damon, Generic properties of solutions to partial differential equations. Arch. Rational Mech. Anal. 140 (1997), no. 4, 353–403.
  4. J. Damon, Singularities with scale threshold and discrete functions exhibiting generic properties. Workshop on Real and Complex Singularities (São Carlos, 1996). Mat. Contemp. 12 (1997), 45–65.
 
stages.txt · Dernière modification: 2014/12/04 23:03 par borichev
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